דף נוסחאות הסתברות: חוקים, התפלגויות, ובייס

דף נוסחאות מלא להסתברות וסטטיסטיקה לבגרות. כל החוקים, ההתפלגויות, וכלי הסתברות מותנית.

חוקים בסיסיים

הסתברות מאורע

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} \quad (\text{כשהתוצאות שוות-הסתברות})$$

חוק החיבור

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

עבור מאורעות זרים:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

חוק הכפל

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B | A)$$

עבור מאורעות בלתי-תלויים:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

משלים

$$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$

הסתברות מותנית

הגדרה

$$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$$

בלתי-תלות

$$A, B \text{ בלתי-תלויים} \iff P(A | B) = P(A) \iff P(A \cap B) = P(A) P(B)$$

נוסחת ההסתברות המלאה

עבור חלוקה זרה ומלאה B_1, ..., B_n:

$$P(A) = \sum_i P(A | B_i) \cdot P(B_i)$$

נוסחת בייס

$$P(B_i | A) = \frac{P(A | B_i) \cdot P(B_i)}{P(A)}$$

שיטות ספירה

עצרת (פקטוריאל)

$$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 1, \quad 0! = 1$$

תמורות חלקיות

$$\frac{n!}{(n-k)!}$$

צירופים (בחירה ללא חשיבות לסדר)

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

תכונות:

$$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}, \quad \binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$$

משתנה מקרי דיסקרטי

תוחלת

$$E(X) = \sum_x x \cdot P(X = x)$$

שונות וסטיית תקן

$$\text{Var}(X) = E((X - E(X))^2) = E(X^2) - [E(X)]^2$$ $$\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$$

תכונות

$$E(aX + b) = a E(X) + b$$ $$\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$$

התפלגות בינומית (ברנולי)

עבור n ניסויים בלתי-תלויים, הסתברות הצלחה p בכל ניסוי:

הסתברות נקודתית

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

תוחלת ושונות

$$E(X) = np, \quad \text{Var}(X) = np(1-p)$$

התפלגות נורמלית (5 יחידות)

ציון תקני

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

(אחרי מעבר, Z בהתפלגות נורמלית סטנדרטית N(0, 1).)

תכונות

• סימטרית סביב הממוצע μ
• 68% בתחום μ ± σ
• 95% בתחום μ ± 2σ
• 99.7% בתחום μ ± 3σ

סטטיסטיקה תיאורית

ממוצע

$$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$$

חציון

הערך האמצעי כשהנתונים מסודרים. אם n זוגי, ממוצע שני האמצעיים.

שונות וסטיית תקן

$$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$$ $$s = \sqrt{s^2}$$

עמודים קשורים

• הסתברות
• הסתברות מותנית
• התפלגויות
• נוסחת בייס
• דף נוסחאות 5 יחידות