פונקציות אלגבריות לבגרות: לינארית, ריבועית, רציונלית, שורש, מעריכית, לוגריתמית
פונקציות אלגבריות בבגרות במתמטיקה. סוגי הפונקציות, תחום ההגדרה, הגרף, הנקודות החשובות, ושיטות לזיהוי מהנוסחה.
עודכן ב-26 במאי 2026
פונקציות אלגבריות הן הצורה המרכזית של ייצוג קשרים בין משתנים בבגרות. כל שאלון מכיל לפחות שאלה אחת על חקירת פונקציה, ובמקרים רבים גם בעיות יישומיות שדורשות זיהוי הפונקציה הנכונה.
סוגי פונקציות
פונקציה לינארית
צורה: f(x) = mx + n. תחום הגדרה: כל ה-x-ים. הגרף הוא ישר עם שיפוע m וחיתוך n עם ציר y.
פונקציה ריבועית
צורה: f(x) = ax² + bx + c עם a שונה מאפס. הגרף הוא פרבולה. אם a חיובי, הפרבולה פתוחה כלפי מעלה. הקודקוד הוא בנקודה x = −b/(2a). את הצורה הקנונית מקבלים בהשלמה לריבוע.
פונקציה רציונלית
צורה: f(x) = P(x) / Q(x) כאשר P ו-Q פולינומים. תחום הגדרה: כל ה-x-ים שעבורם המכנה שונה מאפס. אסימפטוטות אנכיות במקומות שבהם המכנה מתאפס.
פונקציית שורש
צורה: f(x) = √(g(x)). תחום הגדרה: g(x) חיובי או אפס. הגרף הוא חצי-פרבולה (כאשר g לינארי) או צורה כללית יותר.
פונקציה מעריכית
צורה: f(x) = aˣ עם a חיובי שונה מאחד. תחום הגדרה: כל ה-x-ים. תחום הערכים: y חיובי בלבד. אסימפטוטה אופקית: ציר ה-x. אם a גדול מ-1: עולה. אם 0 < a < 1: יורדת.
פונקציה לוגריתמית
צורה: f(x) = log_a(x) עם a חיובי שונה מאחד. תחום הגדרה: x חיובי. תחום הערכים: כל המספרים. אסימפטוטה אנכית: ציר ה-y. הפונקציה הלוגריתמית היא הפיכה של המעריכית.
נקודות חשובות לזהות בכל פונקציה
- תחום ההגדרה: מאיפה לאיפה ה-x רץ.
- נקודות חיתוך עם הצירים: מציבים x = 0 לחיתוך עם ציר y, ופותרים f(x) = 0 לחיתוך עם ציר x.
- אסימפטוטות: ישרים שהפונקציה מתקרבת אליהם אבל לא נוגעת.
- תחומי עליה וירידה: באיזה חלק הפונקציה עולה ובאיזה יורדת.
- נקודות קיצון: מקסימום ומינימום מקומיים (דרושה גזירה ב-4 ו-5 יחידות).
דוגמה: זיהוי תחום הגדרה
מצאו את תחום ההגדרה של f(x) = √(x − 3) / (x − 5).
פתרון. שני תנאים:
- ביטוי תחת השורש אי-שלילי:
x − 3 ≥ 0⇒x ≥ 3 - המכנה שונה מאפס:
x ≠ 5
תחום ההגדרה: x ≥ 3 ו-x ≠ 5, כלומר [3, 5) ∪ (5, ∞).
טעויות נפוצות
- שכחת לבדוק את שני התנאים: שורש דורש אי-שליליות וגם המכנה צריך להיות שונה מאפס.
- בלבול בין תחום הגדרה לתחום ערכים. תחום הגדרה זה ה-x-ים. תחום ערכים זה ה-y-ים.
- חישוב פונקציה לוגריתמית על קלט אי-חיובי. log רק על מספרים חיוביים ממש.