בעיות גיל: שיטת פתרון ודוגמאות

בעיות גיל הן בעיות מילוליות שמערבות גילים של אנשים בזמנים שונים. הקושי הוא בעיבוד "לפני 5 שנים" או "בעוד 3 שנים" לאלגברה.

הרעיון

כל אדם בכל זמן מתואר על-ידי גיל. אם גיל עכשיו הוא x:

• לפני k שנים: x − k
• בעוד k שנים: x + k

שיטת הפתרון

1. בחרו משתנה לגיל אחד עכשיו (לרוב את הצעיר).
2. הביעו את הגילים האחרים ביחס לאותו משתנה.
3. בנו טבלה עם שורה לכל אדם ועמודה לכל זמן רלוונטי.
4. תרגמו את התנאי למשוואה.
5. פתרו ובדקו שהפתרון הגיוני (גיל אי-שלילי).

דוגמה 1: יחס בסיסי

דניאל גדול מאחיו פי 3. בעוד 6 שנים הוא יהיה פי 2. בני כמה הם עכשיו?

פתרון. נסמן את גיל האח x. גיל דניאל: 3x.

בעוד 6 שנים: גיל האח x + 6, גיל דניאל 3x + 6.

תנאי: דניאל פי 2 מהאח.

$$3x + 6 = 2(x + 6) \implies 3x + 6 = 2x + 12 \implies x = 6$$

האח: 6. דניאל: 18.

דוגמה 2: גילים עכשווים ועברים

לפני 5 שנים גיל אבא היה פי 4 מגיל הבן. עכשיו אבא בן 45. בני כמה הבן עכשיו?

פתרון. לפני 5 שנים: אבא היה 40, הבן 40/4 = 10. עכשיו הבן 10 + 5 = 15.

דוגמה 3: שני זמנים

גיל אם פי 3 מגיל בתה. בעוד 10 שנים גיל האם יהיה פי 2 מגיל הבת. בני כמה הן עכשיו?

פתרון. נסמן גיל הבת x, גיל האם 3x.

בעוד 10 שנים: בת x + 10, אם 3x + 10.

$$3x + 10 = 2(x + 10) \implies 3x + 10 = 2x + 20 \implies x = 10$$

הבת: 10. האם: 30.

דוגמה 4: עם משוואה ריבועית

ההפרש בגיל בין שני אחים הוא 4. מכפלת גיליהם 96. בני כמה כל אחד?

פתרון. נסמן גיל הצעיר x. גיל הבכור x + 4.

$$x(x + 4) = 96 \implies x^2 + 4x - 96 = 0$$

לפי נוסחת השורשים: x = 8 או x = -12. רק x = 8 הגיוני.

הצעיר: 8. הבכור: 12.

טעויות נפוצות

1. שימוש בגיל ישן בנתון על העתיד. אם הנתון על "בעוד 5 שנים", צריך להציב את הגילים העתידיים.
2. שכחת הוספת אותן שנים לשני האנשים. אם דניאל בעוד 6 שנים, האח גם בעוד 6 שנים.
3. בחירה משתנה לא נוח. בדרך כלל הצעיר משתנה נוח כי אחרים גדולים ממנו.

עמודים קשורים

• בעיות תנועה
• בעיות עבודה משותפת
• סוגי שאלות