אלגברה · משוואות מעריכיות

שלב 1: שלב 1 - חלוקת המשוואה

המשוואה הנתונה היא: \[ 3 \cdot 4^x + 4 \cdot 6^x = 4 \cdot 9^x \] נשים לב שהבסיסים הם 4, 6 ו-9. מאחר שפונקציה מעריכית היא תמיד חיובית (\( 4^x > 0 \)), מותר לנו לחלק את שני אגפי המשוואה ב-\( 4^x \) מבלי לדאוג מחלוקה באפס. נחלק כל איבר במשוואה ב-\( 4^x \): \[ \frac{3 \cdot 4^x}{4^x} + \frac{4 \cdot 6^x}{4^x} = \frac{4 \cdot 9^x}{4^x} \] האיבר הראשון מצטמצם ונשאר רק 3: \[ 3 + 4 \cdot \frac{6^x}{4^x} = 4 \cdot \frac{9^x}{4^x} \]

מושגים: זיהוי משוואות הומוגניות

שלב 2: שלב 2 - חוקי חזקות ויצירת בסיס משותף

נשתמש בחוק החזקות \( \frac{a^x}{b^x} = \left(\frac{a}{b}\right)^x \): \[ 3 + 4 \cdot \left(\frac{6}{4}\right)^x = 4 \cdot \left(\frac{9}{4}\right)^x \] נצמצם את השברים בתוך הסוגריים: * \( \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5 \) * \( \frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 2.25 \) נציב חזרה ונקבל משוואה שבה כל הבסיסים תלויים ב-\( \frac{3}{2} \): \[ 3 + 4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x = 4 \cdot \left(\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)^x \] לפי חוקי חזקות נחליף את מיקום המעריכים באגף ימין: \[ 3 + 4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x = 4 \cdot \left(\left(\frac{3}{2}\right)^x\right)^2 \]

מושגים: חוקי חזקות לפילוג

שלב 3: שלב 3 - הצבה (משתנה עזר)

כעת קל לראות שיש לנו ביטוי שחוזר על עצמו. נגדיר משתנה עזר \( t \): \[ t = \left(\frac{3}{2}\right)^x \] (נזכור ש-\( t > 0 \) מכיוון שביטוי מעריכי תמיד חיובי). נציב את \( t \) במשוואה שקיבלנו בסוף שלב 2: \[ 3 + 4t = 4t^2 \]

מושגים: הצבת משתנה עזר

שלב 4: שלב 4 - פתרון משוואה ריבועית

נעביר את כל האיברים לאגף אחד כדי לקבל משוואה ריבועית מסודרת (נשווה לאפס): \[ 4t^2 - 4t - 3 = 0 \] נפתור באמצעות נוסחת השורשים (כאשר \( a=4, b=-4, c=-3 \)): \[ t_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3)}}{2 \cdot 4} \] \[ t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{8} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{8} = \frac{4 \pm 8}{8} \] נקבל שני פתרונות אפשריים עבור \( t \): \[ t_1 = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = 1.5 = \frac{3}{2} \] \[ t_2 = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -0.5 \] כפי שציינו קודם, \( t \) חייב להיות חיובי, ולכן הפתרון \( t_2 = -0.5 \) נפסל.

מושגים: סינון פתרונות

שלב 5: שלב 5 - חזרה למשתנה המקורי

נשארנו עם פתרון אחד תקין: \( t = \frac{3}{2} \). נחזור להצבה שעשינו בשלב 3, \( t = \left(\frac{3}{2}\right)^x \): \[ \left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{3}{2} \] זה זהה לכתיבה: \[ \left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^1 \] מאחר שהבסיסים שווים, ניתן להשוות את המעריכים, והתשובה הסופית היא: \( x = 1 \).