חזרה לקטלוג
#146אלגברה
משוואות מעריכיותקראו את השאלה
שאלה
פתרו את מערכת המשוואות הבאה (מצאו את x ו-y): (1) (2)
אלגברה · משוואות מעריכיות
השאלה
פתרו את מערכת המשוואות הבאה (מצאו את x ו-y): (1) \( (5 \cdot \sqrt{2})^{x - y} = 50 \) (2) \( (3 \cdot \sqrt[3]{2})^{x + y} = 54 \)
הטיפ של עובד
במספרים שנראים מוזר (כמו 50 או 54 מול בסיסים עם שורשים), חפשו תמיד את הקשר בין הבסיס שבאגף שמאל לבין המספר באגף ימין. תשאלו את עצמכם: "האם 50 הוא חזקה של 5 שורש 2?". ברגע שתנסו להעלות את הבסיס המורכב בריבוע או בשלישית (תוך שימוש בכלל \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \)), תגלו הפתעה: 50 הוא בדיוק הבסיס הראשון בריבוע, ו-54 הוא בדיוק הבסיס השני בשלישית! המשוואות המפחידות יהפכו בשנייה למערכת משוואות לינארית פשוטה של כיתה ח'.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: טיפול במשוואה הראשונה
המשוואה הראשונה היא: \( (5 \cdot \sqrt{2})^{x - y} = 50 \) נבדוק האם המספר 50 מורכב מהבסיס שבאגף שמאל. ננסה להעלות את הבסיס \( 5 \cdot \sqrt{2} \) בריבוע: \[ (5 \cdot \sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 \] אנו יודעים ש- \( 5^2 = 25 \), וששורש ריבועי שעולה בריבוע נותן את המספר עצמו: \( (\sqrt{2})^2 = 2 \). נציב: \[ 25 \cdot 2 = 50 \] מעולה! גילינו ש- \( 50 = (5 \cdot \sqrt{2})^2 \). נכתוב מחדש את המשוואה הראשונה: \[ (5 \cdot \sqrt{2})^{x - y} = (5 \cdot \sqrt{2})^2 \] הבסיסים שווים, לכן ניתן "לקלף" אותם ולהשוות רק את המעריכים: (1) \( x - y = 2 \)
מושגים: זיהוי בסיסים משותפים
שלב 2: טיפול במשוואה השנייה
המשוואה השנייה היא: \( (3 \cdot \sqrt[3]{2})^{x + y} = 54 \) באותו אופן, נבדוק את הקשר בין 54 לבסיס המורכב. מכיוון שיש לנו שורש שלישי (\( \sqrt[3]{} \)), ננסה להעלות את הבסיס בחזקת 3: \[ (3 \cdot \sqrt[3]{2})^3 = 3^3 \cdot (\sqrt[3]{2})^3 \] אנו יודעים ש- \( 3^3 = 27 \), וששורש שלישי שעולה בחזקת 3 נותן את המספר עצמו: \( (\sqrt[3]{2})^3 = 2 \). נציב: \[ 27 \cdot 2 = 54 \] בינגו! גילינו ש- \( 54 = (3 \cdot \sqrt[3]{2})^3 \). נכתוב מחדש את המשוואה השנייה: \[ (3 \cdot \sqrt[3]{2})^{x + y} = (3 \cdot \sqrt[3]{2})^3 \] שוב, הבסיסים שווים, נשווה את המעריכים: (2) \( x + y = 3 \)
מושגים: חוקי חזקות ושורשים
שלב 3: פתרון מערכת המשוואות הלינארית
קיבלנו מערכת משוואות פשוטה מאוד משלבים 1 ו-2: \( x - y = 2 \) \( x + y = 3 \) נפתור בעזרת שיטת "חיבור משוואות" (נחבר את אגף ימין לאגף ימין, ואת אגף שמאל לאגף שמאל): \[ (x + x) + (-y + y) = 2 + 3 \] \[ 2x = 5 \] נחלק ב-2: \[ x = 2.5 \] כעת נציב את x שמצאנו באחת המשוואות (למשל במשוואה השנייה) כדי למצוא את y: \[ 2.5 + y = 3 \] נעביר את 2.5 אגף: \[ y = 0.5 \] וזהו הפתרון המלא למערכת המשוואות!
מושגים: מערכת משוואות לינאריות
תשובה סופית
התשובה הסופית: \( x = 2.5 \) \( y = 0.5 \)