אלגברה · משוואות מעריכיות

שלב 1: חלוקת המשוואה בבסיס הגדול ביותר

המשוואה הנתונה מורכבת מהבסיסים 4, 6 ו-9. נחלק את כל איברי המשוואה בחזקה של הבסיס הגדול ביותר, כלומר נחלק את כל המשוואה ב- \( 9^x \) (שבוודאות שונה מאפס). \[ 3 \cdot \frac{4^x}{9^x} + 4 \cdot \frac{6^x}{9^x} = 4 \cdot \frac{9^x}{9^x} \] האיבר הימני הופך פשוט ל-4. נסדר את שאר האיברים לפי חוקי החזקות (מנה של חזקות בעלות אותו מעריך): \[ 3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x + 4 \cdot \left(\frac{6}{9}\right)^x = 4 \]

מושגים: משוואה מעריכית הומוגנית

שלב 2: צמצום השברים וזיהוי הקשר ביניהם

נסתכל על השברים שקיבלנו בתוך הסוגריים. ניתן לצמצם ולפשט אותם: השבר השני: נצמצם את 6/9 ב-3 ונקבל \( \frac{2}{3} \). השבר הראשון: נשים לב ש-4 הוא הריבוע של 2, ו-9 הוא הריבוע של 3. לכן ניתן לכתוב: \( \frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \). נציב את הפישוטים האלה בחזרה למשוואה: \[ 3 \cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^x + 4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x = 4 \] לפי חוקי חזקות \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \), מותר לנו להחליף את המיקום של ה-2 וה-x בשבר הראשון: \[ 3 \cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^x\right)^2 + 4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x - 4 = 0 \]

מושגים: חוקי חזקות (מנה)

שלב 3: הצבת משתנה עזר ופתרון המשוואה הריבועית

כעת קל לראות שהביטוי \( \left(\frac{2}{3}\right)^x \) חוזר על עצמו. נסמן אותו כמשתנה עזר: \( t = \left(\frac{2}{3}\right)^x \). מכיוון שחזקה מעריכית תמיד מניבה תוצאה חיובית, אנו מוסיפים מיד את תנאי החובה: \( t > 0 \). נציב t במשוואה ונקבל משוואה ריבועית פשוטה: \[ 3t^2 + 4t - 4 = 0 \] נפתור בעזרת נוסחת השורשים: \[ t_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4)}}{2 \cdot 3} \] \[ t_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} \] \[ t_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{-4 \pm 8}{6} \] קיבלנו שני פתרונות: \( t_1 = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) \( t_2 = \frac{-4 - 8}{6} = -\frac{12}{6} = -2 \) כפי שציינו, \( t \) חייב להיות חיובי, ולכן הפתרון \( t = -2 \) נפסל! נשארנו רק עם \( t = \frac{2}{3} \).

מושגים: הצבת משתנה עזר (t)

שלב 4: חזרה למשתנה המקורי (x)

נציב בחזרה את המשתנה המקורי. זכרו ש- \( t = \left(\frac{2}{3}\right)^x \). \[ \left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{2}{3} \] מכיוון ש- \( \frac{2}{3} \) הוא פשוט \( \left(\frac{2}{3}\right)^1 \), המשוואה היא בעצם: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^1 \] הבסיסים שווים, ולכן נוכל פשוט להשוות את המעריכים ולקבל את התשובה הסופית: \[ x = 1 \]