נתון גרף הנגזרת $f'(x)$ בתחום $-2 \leq x \leq 3$: מצאו את: א. שיעורי ה-$x$ של נקודות הקיצון הפנימיות של הפונקציה $f(x)$. ב. תחומי העלייה והירידה של גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום $-2 < x < 3$. ג. משוואת המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה $(-1, 4)$ הנמצאת על גרף הפונקציה. גרף פונקציית נגזרת
הטיפ של עובד
טיפים מהירים:
• בנקודות הקיצון הנגזרת מתאפסת וחוצה את הציר.
• פונקציה עולה כשהנגזרת חיובית ויורדת כשהיא שלילית.
• ערך ה-y של הנגזרת הוא שיפוע המשיק.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: מציאת נקודות הקיצון
נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מתרחשות כאשר $f'(x) = 0$. מהגרף, הנגזרת מתאפסת בנקודות $x = 0$ ו-$x = 2$. לקביעת סוג הקיצון, בוחנים את סימן הנגזרת: • כאשר הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית → מקסימום • כאשר הנגזרת עוברת משלילית לחיובית → מינימום תשובה: $x = 0$ (מינימום), $x = 2$ (מקסימום)
מושגים: קיצון, נגזרת, נקודות קיצון
שלב 2: תחומי העלייה והירידה
הפונקציה עולה בתחומים שבהם $f'(x) > 0$ ויורדת בתחומים שבהם $f'(x) < 0$. מהגרף: • עלייה: $f'(x) > 0$ בתחום $0 < x < 2$ • ירידה: $f'(x) < 0$ בתחומים $-2 < x < 0$ ו-$2 < x < 3$
מושגים: עלייה ירידה, נגזרת, מונוטוניות
שלב 3: משוואת המשיק
שיפוע המשיק בנקודה הוא $f'(-1)$. מהגרף, כאשר $x = -1$, הערך הוא $f'(-1) = -2$. בשימוש בנוסחת המשיק עם נקודה $(-1, 4)$ ושיפוע $m = -2$: $y - 4 = -2(x + 1)$ $y - 4 = -2x - 2$ $y = -2x + 2$
נתון גרף הנגזרת f′(x) בתחום −2≤x≤3:
מצאו את:
א. שיעורי ה-x של נקודות הקיצון הפנימיות של הפונקציה f(x).
ב. תחומי העלייה והירידה של גרף הפונקציה f(x) בתחום −2<x<3.
ג. משוואת המשיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודה (−1,4) הנמצאת על גרף הפונקציה.
