נתונה הפונקציה $f(x)$, המוגדרת בתחום $x ≤ a$, $x ≠ 0$. $a$ הוא פרמטר חיובי. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ המוגדרת בתחום $x < a$, $x ≠ 0$: סרטוט פונקציית הנגזרת f'(x) לפונקציית הנגזרת $f'(x)$ יש שלוש אסימפטוטות המאונכות לצירים שמשוואותיהן: $x = 0$, $x = a$, $y = 0$. בתחום $x < 0$ פונקציית הנגזרת $f'(x)$ עולה. הישר $x = 0$ הוא אסימפטוטה גם לגרף הפונקציה $f(x)$. נתון $f(a) = 0$. א. (1) מצאו את תחום העלייה ואת תחום הירידה של הפונקציה $f(x)$ (הביעו את תשובתכם באמצעות $a$, אם יש צורך). נמקו. (2) כמה נקודות פיתול יש לפונקציה $f(x)$? נמקו. ב. נתון כי הישר $y = 0$ הוא אסימפטוטה של גרף הפונקציה $f(x)$. סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה $f(x)$, בהתאם לתשובתכם בתת-סעיף א(2).
הטיפ של עובד
עלייה וירידה: חיוביות הנגזרת מעידה על עלייה, ושליליותה על ירידה. פיתול: חפשו שינוי במגמת הנגזרת (נקודת קיצון של הנגזרת).
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: א(1): תחום העלייה והירידה
בחינת סימן הנגזרת $f'(x)$ מגרף הנגזרת: עבור $x < 0$: הנגזרת $f'(x) > 0$ ולכן הפונקציה $f(x)$ עולה. עבור $0 < x < a$: הנגזרת $f'(x) < 0$ ולכן הפונקציה $f(x)$ יורדת.
מושגים: נגזרת, עלייה וירידה, סימן נגזרת
שלב 2: א(2): נקודות פיתול
נקודת פיתול קיימת בנקודה בה הנגזרת משיגה קיצון (מינימום או מקסימום). מגרף הנגזרת ניתן לראות שבתחום $0 < x < a$ קיימת נקודה בה $f'(x)$ משיגה מינימום מקומי. בנקודה זו קיימת נקודת פיתול אחת של הפונקציה $f(x)$.
מושגים: פיתול, נקודות קיצון, נגזרת
שלב 3: ב: סקיצה של הפונקציה
בעזרת התוצאות לעיל נוכל לסרטט סקיצה של $f(x)$ המתאימה לתנאים: בתחום $x < 0$ פונקציה עולה עם אסימפטוטה אנכית ב $x = 0$; בתחום $0 < x < a$ פונקציה יורדת; בנקודה $x = a$ מתקיים $f(a) = 0$ עם אסימפטוטה אנכית; בתחום $x > a$ אסימפטוטה אופקית $y = 0$; קיימת נקודת פיתול בתחום החיובי. סקיצה של f(x)
נתונה הפונקציה f(x), המוגדרת בתחום x≤a, x=0. a הוא פרמטר חיובי.
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף של פונקציית הנגזרת f′(x) המוגדרת בתחום x<a, x=0:
לפונקציית הנגזרת f′(x) יש שלוש אסימפטוטות המאונכות לצירים שמשוואותיהן: x=0, x=a, y=0.
בתחום x<0 פונקציית הנגזרת f′(x) עולה. הישר x=0 הוא אסימפטוטה גם לגרף הפונקציה f(x). נתון f(a)=0.
א. (1) מצאו את תחום העלייה ואת תחום הירידה של הפונקציה f(x) (הביעו את תשובתכם באמצעות a, אם יש צורך). נמקו.
(2) כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f(x)? נמקו.
ב. נתון כי הישר y=0 הוא אסימפטוטה של גרף הפונקציה f(x). סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה f(x), בהתאם לתשובתכם בתת-סעיף א(2).
