בסרטוט שלפניכם מתואר גרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ המבוסס על הניתוח מהלוח: סרטוט פונקציית הנגזרת f'(x) הגרף חותך את ציר ה-$x$ בנקודה $x = -1$. לנגזרת יש נקודת מקסימום ב-$x = 1$. א. מצאו את שיעור ה-$x$ של נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ וקבעו את סוגה. נמקו. ב. מצאו את שיעור ה-$x$ של נקודת הפיתול של הפונקציה $f(x)$ וקבעו את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה.
הטיפ של עובד
קיצון של $f(x)$: מתרחש בנקודות בהן הנגזרת מתאפסת ומשנה סימן. פיתול של $f(x)$: מתרחש בנקודות הקיצון של גרף הנגזרת.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א: נקודות קיצון
ב-$x = -1$ הנגזרת מתאפסת ועוברת משליליות (מתחת לציר) לחיוביות (מעל הציר), לכן זוהי נקודת מינימום של הפונקציה $f(x)$.
מושגים: קיצון, נגזרת, מינימום
שלב 2: סעיף ב: נקודות פיתול וקעירות
ב-$x = 1$ יש לנגזרת $f'(x)$ נקודת מקסימום, מה שאומר שם $f''(x) = 0$ והנגזרת השנייה משנה סימן. לכן $x = 1$ היא נקודת פיתול של $f(x)$. תחומי הקעירות: הפונקציה קעורה כלפי מעלה (קעורה) ב-$x < 1$ כאשר $f''(x) > 0$ (כלומר $f'(x)$ עולה), וקעורה כלפי מטה ב-$x > 1$ כאשר $f''(x) < 0$ (כלומר $f'(x)$ יורדת).
