נתונים: לפניכם סקיצה של גרף הפונקציה \( f(x) \) (כפי שהתקבלה מסעיפי החקירה הקודמים). ידוע כי לפונקציה \( f(x) \) יש נקודת מינימום. מגדירים פונקציה חדשה \( g(x) \) באופן הבא: \[ g(x) = \frac{k}{f(x)} \] מה צריך להיות טווח הערכים של הפרמטר \( k \) אם ידוע של- \( g(x) \) יש נקודת מינימום?
כאשר מגדירים פונקציה חדשה שהיא מהצורה \( \frac{1}{f(x)} \), הכלל הוא פשוט: תחומי העלייה והירידה מתהפכים! איפה שהפונקציה המקורית יורדת – הפונקציה החדשה תעלה, ולהפך. כתוצאה מכך, סוגי נקודות הקיצון מתהפכים: נקודת מינימום הופכת לנקודת מקסימום. אם בשאלה שלנו סוג הקיצון לא התהפך ונשאר מינימום, סימן שפרמטר כלשהו (ה-\(k\)) "הפך" את הפונקציה בחזרה, מה שאומר שהוא חייב להיות שלילי!
נתעלם לרגע מהפרמטר \( k \) (או נניח שהוא 1), ונסתכל על פונקציית המנה הרגילה: \( h(x) = \frac{1}{f(x)} \). ידוע לנו כי ל- \( f(x) \) יש נקודת מינימום. המשמעות היא שמשמאל לנקודה הפונקציה יורדת, ומימין לה הפונקציה עולה. כאשר פונקציה חיובית יורדת (הערכים שלה קטנים), הערכים של \( \frac{1}{f(x)} \) דווקא גדלים (הפונקציה עולה). וכאשר היא עולה – \( \frac{1}{f(x)} \) יורדת. מסקנה: ללא התערבות של פרמטר שלילי, נקודת המינימום של \( f(x) \) הייתה הופכת לנקודת מקסימום בפונקציית המנה.
מושגים: פונקציה הופכית
כעת נחזיר את הפרמטר: הפונקציה שלנו היא בעצם מכפלה של קבוע \( k \) בפונקציה \( \frac{1}{f(x)} \). - אם \( k \) חיובי (\(k>0\)): כפל במספר חיובי אינו משנה את תחומי העלייה והירידה. המקסימום יישאר מקסימום. - אם \( k \) שלילי (\(k<0\)): כפל במספר שלילי "הופך" את הפונקציה (שיקוף אנכי סביב ציר ה-\(x\)). מה שהיה עלייה הופך לירידה, ומה שהיה ירידה הופך לעלייה. מכיוון שנתון לנו כי ל- \( g(x) \) יש נקודת מינימום (כלומר, סוג הקיצון חזר להיות זהה לזה של הפונקציה המקורית), הרי ש- \( k \) היה חייב לגרום להיפוך הזה. לכן, בהכרח מתקיים: \( k < 0 \).
מושגים: השפעת פרמטרים
הדרך המתמטית המדויקת להוכיח זאת היא על ידי גזירת הפונקציה \( g(x) \): \[ g'(x) = \frac{-k \cdot f'(x)}{[f(x)]^2} \] ננתח את הביטוי של הנגזרת: - המכנה \( [f(x)]^2 \) הוא תמיד חיובי, ולכן אינו משפיע על סימן הנגזרת. - כדי שלפונקציה \( g(x) \) תהיה נקודת מינימום, הנגזרת שלה \( g'(x) \) חייבת לעבור משלילי (ירידה) לחיובי (עלייה), בדיוק כמו הנגזרת \( f'(x) \). - כלומר, אנו דורשים שסימן הנגזרת \( g'(x) \) יהיה זהה לסימן הנגזרת \( f'(x) \). - הביטוי שכופל את \( f'(x) \) במונה הוא \( -k \). כדי שהסימן לא ישתנה, המקדם הזה חייב להיות חיובי: \[ -k > 0 \implies k < 0 \] כלומר, \( k \) חייב להיות מספר שלילי.
מושגים: נקודות קיצון
התשובה הסופית: טווח הערכים הוא: \( k < 0 \)
נתונים: לפניכם סקיצה של גרף הפונקציה f(x) (כפי שהתקבלה מסעיפי החקירה הקודמים). ידוע כי לפונקציה f(x) יש נקודת מינימום.
מגדירים פונקציה חדשה g(x) באופן הבא: g(x)=f(x)k מה צריך להיות טווח הערכים של הפרמטר k אם ידוע של- g(x) יש נקודת מינימום?
