מתמטיקה · חקירת פונקציות

השאלה

נתוני חקירת הפונקציה: לאחר שחקרנו את הפונקציה $ f(x) $, הגענו למסקנות הבאות לגבי התנהגותה ונקודות הקיצון שלה: - נקודת מקסימום בשיעורים: $ (1, a) $ - נקודת מינימום בשיעורים: $ (-1, -a) $ - הפונקציה עוברת בראשית הצירים $ (0, 0) $. - בשני קצוות הגרף (באינסוף ובמינוס אינסוף) הפונקציה שואפת לאסימפטוטה האופקית $ y = 0 $. השאלה: מה צריך להיות הטווח של הפרמטר $ a $, על מנת שלמשוואה $ f(x) = 1 $ יהיו בדיוק שני פתרונות?

הטיפ של עובד

כאשר שואלים אתכם על 'מספר פתרונות למשוואה', במיוחד בסעיף האחרון של חקירת פונקציה, הכוונה היא לחפש חיתוך גרפים. המשוואה $ f(x) = 1 $ שקולה לשאלה הגרפית: 'בכמה נקודות חותך הישר האופקי $ y = 1 $ את הגרף של $ f(x) $?'. העבירו קו אופקי דמיוני ובדקו כיצד הגובה של הפסגה (נקודת המקסימום) קובע כמה פעמים הקו יחתוך את הפונקציה.

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: שלב 1: המשמעות הגרפית של המשוואה

נפרק את המשוואה $ f(x) = 1 $ לשני חלקים (שני צדי המשוואה): - צד שמאל: הגרף של הפונקציה $ f(x) $. - צד ימין: הגרף של הישר האופקי הקבוע $ y = 1 $. פתרון למשוואה זו הוא בעצם נקודת חיתוך בין שני הגרפים. אנו דורשים שיהיו בדיוק שני פתרונות, ולכן אנו מחפשים מצב שבו הישר $ y = 1 $ חותך את הגרף של $ f(x) $ בשתי נקודות בדיוק.

שלב 2: שלב 2: בחינת המצבים האפשריים (חיתוך הגבעה)

נתבונן על החלק החיובי של הפונקציה (הגבעה ברביע הראשון). גובה הפסגה של גבעה זו נקבע על ידי נקודת המקסימום, שה- $ y $ שלה הוא $ a $. כעת נבדוק מה קורה כאשר נעביר את הישר $ y = 1 $ בגבהים שונים ביחס לפסגה $ a $: מצב 1: $ a < 1 $ (הפסגה נמוכה מדי) אם נקודת המקסימום נמוכה מ-1, הישר $ y = 1 $ יעבור מעל הפונקציה בחלקה החיובי ולא יחתוך אותה כלל. (0 פתרונות) מצב 2: $ a = 1 $ (השקה) אם נקודת המקסימום היא בדיוק בגובה 1, הישר ישיק לפונקציה רק בפסגה עצמה. (פתרון 1 בלבד) מצב 3: $ a > 1 $ (הפסגה גבוהה מהישר) אם הפסגה עולה מעל הישר, הישר חייב לחתוך את הגבעה פעמיים - פעם אחת בעלייה אל המקסימום, ופעם שנייה בירידה ממנו. (2 פתרונות!)

שלב 3: שלב 3: ויזואליזציה של הפתרון

בסרטוט הבא ניתן לראות בבירור מדוע כאשר $ a > 1 $, מתקבלות שתי נקודות חיתוך עם הישר המבוקש: המסקנה הסופית היא שהתנאי הדרוש לשני פתרונות הוא: $ a > 1 $.

תשובה סופית

התשובה הסופית: $ a > 1 $

חזרה לקטלוג

#194מתמטיקה

חקירת פונקציות

קראו את השאלה

שאלה

נתוני חקירת הפונקציה: לאחר שחקרנו את הפונקציה $f(x)$ , הגענו למסקנות הבאות לגבי התנהגותה ונקודות הקיצון שלה: - נקודת מקסימום בשיעורים: $(1, a)$ - נקודת מינימום בשיעורים: $(-1, -a)$ - הפונקציה עוברת בראשית הצירים $(0, 0)$ . - בשני קצוות הגרף (באינסוף ובמינוס אינסוף) הפונקציה שואפת לאסימפטוטה האופקית $y = 0$ .

השאלה: מה צריך להיות הטווח של הפרמטר $a$ , על מנת שלמשוואה $f(x) = 1$ יהיו בדיוק שני פתרונות?

עוד שאלות בחקירת פונקציות