מתמטיקה · חקירת פונקציות

השאלה

נתונים שני מקרים שונים של פונקציות $ f(x) $: מקרה א' הפונקציה משיקה לציר ה-$x$ בנקודות 0 ו-1, ואינה שלילית. מקרה ב' הפונקציה חותכת את ציר ה-$x$ בנקודות 0 ו-2 (מחליפה סימן). עבור כל אחד מהמקרים, מגדירים פונקציה חדשה $ g(x) $ באופן הבא: \[ g(x) = \frac{f(x)}{|f(x)|} \] השאלה: סרטטו סקיצה מדויקת של גרף הפונקציה $ g(x) $ עבור כל אחד משני המקרים. בסרטוטכם ציינו במפורש נקודות אי-הגדרה (חורים) ומשוואות של אסימפטוטות, אם ישנן.

הטיפ של עובד

כשאתם רואים פונקציה חלקי הערך המוחלט שלה, תבינו מיד שזוהי פונקציית סימן. אל תנסו לגזור או לחשב! הגרף שלה תמיד יורכב מקווים ישרים אופקיים בגובה $ y=1 $ (איפה שהפונקציה המקורית חיובית) או $ y=-1 $ (איפה שהיא שלילית). זהירות: בנקודות שבהן הפונקציה המקורית חותכת את הציר, המכנה יתאפס. אלו אינן אסימפטוטות (כי הערך לא שואף לאינסוף), אלא חורים (נקודות אי-הגדרה)!

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: שלב 1: הבנת חוקיות הפונקציה $ g(x) $

ננתח את הביטוי $ g(x) = \frac{f(x)}{|f(x)|} $: - כאשר $ f(x) > 0 $ (הפונקציה חיובית, מעל ציר ה-x): גם המונה וגם המכנה שווים זה לזה וחיוביים. לכן $ g(x) = 1 $. - כאשר $ f(x) < 0 $ (הפונקציה שלילית, מתחת לציר ה-x): המונה שלילי והמכנה חיובי (בגלל הערך המוחלט). חלוקה של מספר בערך המוחלט שלו נותנת תמיד מינוס אחד, ולכן $ g(x) = -1 $. - כאשר $ f(x) = 0 $ (חיתוך/השקה עם ציר ה-x): המכנה מתאפס ולכן הפונקציה $ g(x) $ אינה מוגדרת בנקודות אלו (יש חור).

מושגים: פונקציית סימן, ערך מוחלט

שלב 2: שלב 2: יישום במקרה א'

נסתכל על גרף $ f(x) $ במקרה א': הגרף כולו נמצא מעל ציר ה-$x$, מלבד הנקודות $ x=0 $ ו-$ x=1 $ שבהן הוא משיק לציר. - מכיוון שהפונקציה תמיד חיובית, ערך המנה תמיד יהיה 1 ($ y=1 $). - בנקודות ההשקה 0 ו-1, המכנה מתאפס, ולכן נסמן בהן חורים (עיגולים ריקים) על גבי הישר $ y=1 $.

מושגים: נקודות אי-הגדרה

שלב 3: שלב 3: יישום במקרה ב'

נסתכל על גרף $ f(x) $ במקרה ב': - בתחום בין 0 ל-2: הגרף נמצא מתחת לציר (שלילי). לכן בחלק זה נצייר ישר אופקי בגובה $ y=-1 $. - בתחום שגדול מ-2: הגרף עולה מעל הציר (חיובי). לכן בחלק זה נצייר ישר אופקי בגובה $ y=1 $. - נקודות אי-ההגדרה הן 0 ו-2. ב-$ x=0 $ נצייר חור ב-$ y=-1 $. ב-$ x=2 $ הפונקציה קופצת ממינוס לפלוס, לכן נצייר חור למטה (בקצה הקטע השלילי) וחור למעלה (בתחילת הקטע החיובי).

מושגים: קריאת גרפים

תשובות סופיות

התשובות הסופיות: הסקיצה למקרה א' הסקיצה למקרה ב'

חזרה לקטלוג

#202מתמטיקה

חקירת פונקציות

קראו את השאלה

שאלה

נתונים שני מקרים שונים של פונקציות $f(x)$ : מקרה א' הפונקציה משיקה לציר ה- $x$ בנקודות 0 ו-1, ואינה שלילית.

מקרה ב' הפונקציה חותכת את ציר ה- $x$ בנקודות 0 ו-2 (מחליפה סימן).

עבור כל אחד מהמקרים, מגדירים פונקציה חדשה $g(x)$ באופן הבא: $g(x) = \frac{f(x)}{|f(x)|}$ השאלה: סרטטו סקיצה מדויקת של גרף הפונקציה $g(x)$ עבור כל אחד משני המקרים. בסרטוטכם ציינו במפורש נקודות אי-הגדרה (חורים) ומשוואות של אסימפטוטות, אם ישנן.

עוד שאלות בחקירת פונקציות