מתמטיקה · חקירת פונקציות

שלב 1: שלב 1: תרגום הנתונים למשוואות (הגדרות)

לפני שנתחיל לבדוק את \( g(x) \), עלינו לתרגם את הנתונים המילוליים שלנו לשפה מתמטית, בה נשתמש מיד: - נתון 1: \( f(x) \) היא פונקציה זוגית. המשמעות האלגברית היא שאם נציב מינוס, הערך לא ישתנה. לכן מתקיים: \( f(-x) = f(x) \) - נתון 2: \( f'(x) \) היא פונקציה אי-זוגית. המשמעות האלגברית היא שאם נציב מינוס, הפונקציה תוציא מינוס החוצה. לכן מתקיים: \( f'(-x) = -f'(x) \)

שלב 2: שלב 2: הצבת \( -x \) בפונקציה החדשה

הדרך היחידה לבדוק מהי פונקציה מורכבת (זוגית או אי-זוגית) היא להציב את הערך \( -x \) במקום \( x \) בתוך הפונקציה \( g \). נתונה הפונקציה: \[ g(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} \] נציב \( -x \): \[ g(-x) = \frac{f'(-x)}{f(-x)} \] (עדיין לא עשינו כלום חוץ מלהחליף כל x במינוס x)

שלב 3: שלב 3: הפעלת הכללים והסקת מסקנה

כעת נשתמש בזהויות שהגדרנו בשלב 1 בתוך המשוואה שקיבלנו בשלב 2: \[ g(-x) = \frac{-f'(x)}{f(x)} \] הסבר להצבה: - המונה הוחלף ב- \( -f'(x) \) כי הנגזרת אי-זוגית. - המכנה הוחלף ב- \( f(x) \) כי הפונקציה המקורית זוגית. נוציא את המינוס מהמונה אל מחוץ לשבר: \[ g(-x) = - \left( \frac{f'(x)}{f(x)} \right) \] אבל רגע, הביטוי שבתוך הסוגריים \( \left( \frac{f'(x)}{f(x)} \right) \) הוא בדיוק הפונקציה המקורית \( g(x) \)! לכן, אם נחליף את הסוגריים ב- \( g(x) \), נקבל: \[ g(-x) = -g(x) \] הוכחנו שהצבת \( -x \) בפונקציה \( g \) נותנת את הפונקציה המקורית מוכפלת במינוס 1. מסקנה: הפונקציה \( g(x) \) היא פונקציה אי-זוגית.

מושגים: הוכחה אלגברית, זוגיות פונקציה, אי-זוגיות פונקציה