חזרה לקטלוג
#152טריגונומטריה
מעגל היחידהקראו את השאלה
שאלה
בזווית של 45 מעלות במעגל היחידה, רכיב ה-x ורכיב ה-y של הנקודה שווים זה לזה (הרדיוס נמצא על הישר y = x).
בעזרת משפט פיתגורס (הרדיוס שווה 1), מצאו את הערך של הקוסינוס והסינוס של 45 מעלות.
טריגונומטריה · מעגל היחידה
השאלה
בזווית של 45 מעלות במעגל היחידה, רכיב ה-x ורכיב ה-y של הנקודה שווים זה לזה (הרדיוס נמצא על הישר y = x). בעזרת משפט פיתגורס (הרדיוס שווה 1), מצאו את הערך של הקוסינוס והסינוס של 45 מעלות.
הטיפ של עובד
ב-45 מעלות ה-x וה-y שווים. הציבו x במקום y במשוואת המעגל ופתרו, ואז הכפילו מונה ומכנה בשורש 2 כדי לקבל את הצורה הנקייה.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: מציבים בפיתגורס
מכיוון שהרכיבים שווים, נציב y = x ונשתמש בכך שהרדיוס הוא 1: x^2 + x^2 = 1^2 \;\Rightarrow\; 2x^2 = 1
מושגים: פיתגורס
שלב 2: מחלצים את x
x^2 = \tfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; x = \sqrt{\tfrac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} לקחנו את הפתרון החיובי כי אנחנו ברביע הראשון.
מושגים: זווית 45
שלב 3: כותבים את התשובה
מכיוון ש-x = y, גם הקוסינוס וגם הסינוס שווים לאותו ערך.
מושגים: זווית 45
תשובה סופית
התשובה הסופית: \cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}