נתונים מתוך חקירה קודמת: נתונה הפונקציה \( f(x) = (x+3)^4 \cdot (2-x) \). הפונקציה נחקרה ונמצאו הנתונים הבאים: - נקודות חיתוך עם הצירים: \( (-3, 0) , (2, 0) , (0, 162) \) - נקודות קיצון: מינימום ב- \( (-3, 0) \), מקסימום ב- \( (1, 256) \) מגדירים פונקציה חדשה \( g(x) \) המקיימת: \[ g(x) = \frac{1}{f(x-3)} \] ענו על הסעיפים הבאים (נמקו את תשובותיכם): 1. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה \( g(x) \). 2. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה \( g(x) \) עם הצירים (אם יש כאלה). 3. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה \( g(x) \).
כשמגדירים לכם פונקציה מורכבת שכוללת גם הזזה אופקית וגם פונקציית הופכי (אחד חלקי), אל תנסו לעשות הכל בבת אחת! תעבדו בשלבים: 1. קודם תבינו מה קרה לגרף המקורי אחרי ההזזה (ה-\(x\)-ים משתנים אבל ה-\(y\)-ים נשארים). 2. רק אז תפעילו את הכללים של "אחד חלקי": איפה שהיה חיתוך עם ציר \(x\) תהיה אסימפטוטה, תחומי עלייה וירידה מתהפכים, ונקודת מקסימום הופכת לנקודת מינימום.
כדי למצוא את תחום ההגדרה, עלינו לדאוג שהמכנה לא יתאפס. כלומר: \( f(x-3) \neq 0 \). הפונקציה במכנה היא הזזה של \( f(x) \) שלוש יחידות ימינה. ידוע כי \( f(x) = 0 \) כאשר \( x = -3 \) וכאשר \( x = 2 \). לאחר ההזזה ימינה, נקודות האיפוס החדשות יהיו ב: \( x = -3 + 3 = 0 \) \( x = 2 + 3 = 5 \) תשובה סופית: תחום ההגדרה הוא \( x \neq 0 \) וגם \( x \neq 5 \).
מושגים: הזזה אופקית
חיתוך עם ציר ה-\(x\): נשווה את \( g(x) \) לאפס: \( \frac{1}{f(x-3)} = 0 \). שבר שווה לאפס רק אם המונה שלו שווה לאפס. המונה שלנו הוא קבוע (1), ולכן לעולם לא יתאפס. אין חיתוך עם ציר ה-\(x\). חיתוך עם ציר ה-\(y\): נציב \( x = 0 \) בפונקציה \( g(x) \): \[ g(0) = \frac{1}{f(0-3)} = \frac{1}{f(-3)} \] על פי הנתונים, אנו יודעים ש- \( f(-3) = 0 \). לכן מתקבל ביטוי של \( \frac{1}{0} \) שהוא חסר משמעות (נקודת אי הגדרה). אין חיתוך עם ציר ה-\(y\). תשובה סופית: לפונקציה \( g(x) \) אין נקודות חיתוך עם הצירים.
כדי לסרטט את \( g(x) \), אנו מתבססים על המסקנות הבאות (השפעת פונקציית ההופכי): - אסימפטוטות אנכיות: הנקודות שאיפסו את \( f(x-3) \) הופכות לאסימפטוטות: \( x=0 \) ו- \( x=5 \). - נקודת קיצון: נקודת המקסימום המקורית הייתה ב- \( x=1 \). בגלל ההזזה ימינה, ה-\(x\) גדל ל- \( x=4 \). בגלל ההופכי (\( 1 / y \)), נקודת המקסימום הופכת לנקודת מינימום. ה-\(y\) יהיה חיובי אבל קטן מאוד (1/256, למרות שערכו המדויק פחות קריטי לסקיצה). - תחומי עלייה וירידה (מתהפכים): - עבור \( x < 0 \): הפונקציה במכנה יורדת (לכיוון 0), לכן \( g(x) \) עולה ומתקרבת לאסימפטוטה מלמעלה. - בין \( 0 < x < 4 \): הפונקציה במכנה עולה אל עבר הקיצון, לכן \( g(x) \) יורדת מן האסימפטוטה אל נקודת המינימום ב- \( x=4 \). - בין \( 4 < x < 5 \): הפונקציה במכנה יורדת מהקיצון אל כיוון אפס, לכן \( g(x) \) עולה לכיוון האסימפטוטה ב- \( x=5 \). - עבור \( x > 5 \): הפונקציה במכנה יורדת מתחת לאפס (שלילית), לכן \( g(x) \) עולה ממינוס אינסוף לאורך האסימפטוטה ומתקרבת ל-0 מלמטה.
מושגים: פונקציית הופכי, אסימפטוטות
התשובות הסופיות: א. תחום הגדרה: \( x \neq 0 \) וגם \( x \neq 5 \) ב. חיתוך עם הצירים: אין חיתוך עם ציר ה-\(x\) ואין חיתוך עם ציר ה-\(y\). ג. סרטוט סקיצה של \( g(x) \) (מופיע למטה בסרטוט המצורף).
נתונים מתוך חקירה קודמת: נתונה הפונקציה f(x)=(x+3)4⋅(2−x). הפונקציה נחקרה ונמצאו הנתונים הבאים: - נקודות חיתוך עם הצירים: (−3,0),(2,0),(0,162) - נקודות קיצון: מינימום ב- (−3,0), מקסימום ב- (1,256)
מגדירים פונקציה חדשה g(x) המקיימת: g(x)=f(x−3)1 ענו על הסעיפים הבאים (נמקו את תשובותיכם): 1. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x). 2. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם הצירים (אם יש כאלה). 3. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
