מתמטיקה · חקירת פונקציות
השאלה
נתונים מתוך חקירה קודמת: לפניכם גרף הפונקציה \( f(x) \), המוגדרת לכל \( x \). מתוך הגרף נתונות הנקודות הבאות: - נקודות חיתוך עם ציר ה-\(x\): \( (-2, 0) \) ו- \( (1, 0) \) - נקודות קיצון: מקסימום ב- \( (-1, 4) \) ומינימום ב- \( (1, 0) \) מגדירים פונקציה חדשה \( g(x) \) המקיימת: \[ g(x) = \frac{1}{f(x-3)} \] סרטטו סקיצה מדויקת של גרף הפונקציה \( g(x) \). בסרטוטכם ציינו במפורש: - את משוואות האסימפטוטות האנכיות. - את שיעורי נקודת הקיצון ואת סוגה. - את תחומי העלייה והירידה ואת התנהגות הפונקציה בקצוות.
הטיפ של עובד
פונקציה כמו \( \frac{1}{f(x-3)} \) עלולה להיראות מפחידה, אבל היא מורכבת משני חוקים פשוטים שאנחנו כבר מכירים. עבדו בשני שלבים נפרדים:
שלב 1 (הזזה): טפלו ב- \( f(x-3) \). הביטוי בתוך הסוגריים אומר "קח את כל הנקודות החשובות של הגרף, ותזיז אותן 3 יחידות ימינה". ה-y-ים נשארים זהים!
שלב 2 (הופכי): כעת הפעילו את החוקים של \( 1 / y \): איפה שהיה 0 יש אסימפטוטה אנכית, עלייה הופכת לירידה (ולהפך), ונקודת מקסימום הופכת לנקודת מינימום.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: שלב 1: הבנת ההזזה בתוך המכנה \( f(x-3) \)
נתנתק רגע מ-\( g(x) \) ונסתכל רק על המחנה: הפונקציה \( f(x-3) \). הפעולה \( x-3 \) גורמת להזזה של גרף הפונקציה כולה 3 יחידות ימינה. נזיז את כל הנקודות הקריטיות: - חיתוכים עם ציר x: הנקודה \( x=-2 \) זזה ל- \( x=1 \). הנקודה \( x=1 \) זזה ל- \( x=4 \). - נקודת המקסימום: ה-\(x\) שלה זז 3 ימינה, מ-\( x=-1 \) ל-\( x=2 \). ערך ה-\(y\) נשאר זהה (\( y=4 \)). כלומר המקסימום החדש הוא ב- \( (2, 4) \). התנהגות העלייה והירידה נשמרת בדיוק כפי שהייתה, רק במיקומים החדשים על ציר ה-\(x\).
מושגים: הזזה אופקית
שלב 2: שלב 2: מציאת אסימפטוטות אנכיות
כעת נסתכל על הפונקציה המלאה: \( g(x) = \frac{1}{f(x-3)} \). הפונקציה \( g(x) \) מאמצת את כל תחומי ההגדרה, אך מוסיפה דרישה קריטית: אסור למכנה להתאפס. ראינו בשלב הקודם שהמכנה, \( f(x-3) \), מתאפס בשתי נקודות בדיוק: \( x=1 \) ו- \( x=4 \). מסקנה: הישרים \( x=1 \) ו- \( x=4 \) מהווים אסימפטוטות אנכיות לפונקציה \( g(x) \). (הערה: לפונקציה \( g(x) \) גם אין חיתוך עם ציר ה-x, כיוון שהמונה הוא 1 ותמיד שונה מאפס).
מושגים: אסימפטוטות
שלב 3: שלב 3: נקודת קיצון ותחומי עלייה וירידה
הכלל בפונקציות מסוג "אחד חלקי" הוא פשוט: תחומי העלייה והירידה מתהפכים. כשהמכנה עולה הפונקציה יורדת, ולהפך. 1. נקודת הקיצון: למכנה יש נקודת מקסימום ב- \( x=2 \), והגובה שלה הוא 4. בפונקציה \( g(x) \), הנקודה הזו תהפוך לנקודת מינימום. ה-\(y\) שלה יהיה 1 חלקי ה-\(y\) המקורי. כלומר נקודת המינימום היא ב- \( (2, \frac{1}{4}) \). 2. ענף שמאלי (\( x < 1 \)): המכנה עולה ממינוס אינסוף ל-0. כיוון שהוא עולה (ושלילי), \( g(x) \) חייבת לרדת, והיא יורדת מ-0 (האסימפטוטה האופקית) אל עבר מינוס אינסוף בצמוד לאסימפטוטה האנכית \( x=1 \). 3. ענף מרכזי (\( 1 < x < 4 \)): המכנה עולה מאפס למקסימום ואז יורד לאפס. לכן, \( g(x) \) תרד מהאסימפטוטה \( x=1 \) אל נקודת המינימום, ואז תעלה בחזרה לעבר האסימפטוטה \( x=4 \). 4. ענף ימני (\( x > 4 \)): המכנה יורד לכיוון 0 אבל נשאר חיובי (אם נניח שהוא מגיע למעין אסימפטוטה או ממשיך ל-0). לכן \( g(x) \) חייבת לעלות ולשאוף לאסימפטוטה האופקית \( y=0 \) מלמעלה.
מושגים: פונקציה הופכית, סרטוט גרפים
תשובות סופיות
התשובות הסופיות: סקיצת הפונקציה \( g(x) \) מצורפת.
