מתמטיקה · חקירת פונקציות

שלב 1: שלב 1: הגדרת הפונקציה \( g(x) \) לפי תחומים אלגבריים

ננתח את הביטוי \( g(x) = f(x) + |f(x)| \) על ידי פיצול הגדרת הערך המוחלט לשני מקרים: מקרה א': הפונקציה המקורית חיובית \( f(x) \ge 0 \) כאשר פונקציה חיובית, הערך המוחלט שלה שווה לה עצמה: \( |f(x)| = f(x) \). נציב זאת במשוואה: \( g(x) = f(x) + f(x) = 2f(x) \). מקרה ב': הפונקציה המקורית שלילית \( f(x) < 0 \) כאשר פונקציה שלילית, הערך המוחלט שלה שווה לנגדי שלה: \( |f(x)| = -f(x) \). נציב זאת במשוואה: \( g(x) = f(x) + (-f(x)) = 0 \).

מושגים: פיצול למקרים, ערך מוחלט

שלב 2: שלב 2: התאמת המקרים אל הגרף הנתון

כעת, נסתכל על הגרף של הפונקציה המקורית \( f(x) \) ונחלק אותו לתחומים בהתאם לנקודות החיתוך שלו עם ציר ה-\(x\) (שהן \( x=-4 \) ו- \( x=0 \)): - עבור \( x < -4 \): הגרף נמצא מעל לציר ה-\(x\) (\( f(x) > 0 \)). לכן, לפי מקרה א', \( g(x) = 2f(x) \). מבחינה גרפית, הענף הזה ישמור על צורתו הכללית אך יימתח כלפי מעלה (כל ערך \(y\) יוכפל פי 2). - עבור \( -4 < x < 0 \): הגרף נמצא מתחת לציר ה-\(x\) (\( f(x) < 0 \)). לכן, לפי מקרה ב', \( g(x) = 0 \). מבחינה גרפית, כל החלק השלילי הופך לקו ישר אופקי על גבי ציר ה-\(x\). - עבור \( x > 0 \): הגרף שוב נמצא מעל לציר ה-\(x\) (\( f(x) > 0 \)). לכן שוב \( g(x) = 2f(x) \). הענף הימני יימתח גם הוא כלפי מעלה.

מושגים: קריאת גרפים

שלב 3: שלב 3: סיכום ההשפעה הגיאומטרית

לסיכום, כדי לסרטט את \( g(x) \) אנו פועלים כך: 1. מוחקים לחלוטין את כל החלקים של \( f(x) \) שנמצאים מתחת לציר ה-\(x\). 2. במקום החלקים שנמחקו, מעבירים קו ישר ועבה על ציר ה-\(x\) (\( y=0 \)). 3. לוקחים את כל החלקים של \( f(x) \) שנשארו מעל ציר ה-\(x\), ומותחים אותם אנכית כלפי מעלה פי 2.