נתונים מתוך חקירה קודמת: לפניכם סקיצה של גרף הפונקציה \( f(x) \). - נקודות חיתוך עם ציר ה-\(x\): \( (-3, 0) \), \( (0, 0) \) ו- \( (3, 0) \). - נקודות קיצון: מקסימום בשיעורים \( (1.5, 4) \) ומינימום בשיעורים \( (-1.5, -4) \). מגדירים פונקציה חדשה \( g(x) \) המקיימת: \[ g(x) = \frac{1}{\sqrt{f(x)}} \] ענו על הסעיפים הבאים (נמקו את תשובותיכם והראו חישובים): 1. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה \( g(x) \). 2. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה \( g(x) \), וקבעו את סוגה. 3. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה \( g(x) \) (ציינו אסימפטוטות אנכיות אם יש).
פונקציה המורכבת משורש במכנה "דורשת" שני דברים בו זמנית: גם שהתוכן יהיה אי-שלילי (בגלל השורש) וגם שהוא לא יתאפס (בגלל המכנה). שילוב הדרישות הללו נותן אי-שוויון פשוט: התוכן חייב להיות גדול ממש מאפס! לגבי הקיצון, זכרו שכאשר גוזרים פונקציה שהיא \( 1 \) חלקי משהו חיובי, המינוס שנוצר בנגזרת הופך את תחומי העלייה והירידה, ולכן נקודת המקסימום המקורית תהפוך תמיד למינימום בפונקציה החדשה.
הפונקציה \( g(x) \) מכילה שורש הממוקם בתוך מכנה. מכאן עולות שתי דרישות: 1. דרישת השורש: התוכן חייב להיות אי-שלילי \( \implies f(x) \ge 0 \). 2. דרישת המכנה: המכנה אינו יכול להתאפס \( \implies \sqrt{f(x)} \neq 0 \implies f(x) \neq 0 \). שילוב שתי הדרישות מחייב אותנו למצוא את התחום שבו \( f(x) > 0 \). מבט בגרף הנתון של \( f(x) \) מראה שהפונקציה נמצאת מעל ציר ה-\(x\) אך ורק בין נקודות החיתוך שלה עם הציר. לכן, תחום ההגדרה הוא: \( 0 < x < 3 \).
מושגים: תחום הגדרה משולב
1. גזירה ומציאת שיעור ה-\(x\): נגזור את הפונקציה \( g(x) = (f(x))^{-1/2} \) בעזרת כלל השרשרת: \[ g'(x) = -\frac{1}{2} (f(x))^{-3/2} \cdot f'(x) = \frac{-f'(x)}{2\sqrt{(f(x))^3}} \] נשווה את הנגזרת לאפס. שבר שווה לאפס כאשר המונה שלו מתאפס: \( -f'(x) = 0 \implies f'(x) = 0 \). כלומר, ל-\( g(x) \) תהיה נקודת קיצון בדיוק באותו ערך \(x\) שבו יש קיצון ל-\( f(x) \). על פי הנתונים, זה קורה כאשר \( x = 1.5 \). 2. מציאת שיעור ה-\(y\): נציב \( x = 1.5 \) בפונקציה \( g \): \[ g(1.5) = \frac{1}{\sqrt{f(1.5)}} \] מהגרף נתון לנו כי בנקודת המקסימום \( f(1.5) = 4 \). נציב זאת ונקבל: \( g(1.5) = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} = 0.5 \). 3. קביעת סוג הקיצון: המונה של הנגזרת הוא \( -f'(x) \). המכנה תמיד חיובי בתחום ההגדרה. - משמאל לקיצון (\( x < 1.5 \)): הפונקציה \( f \) עולה, לכן \( f' > 0 \). בגלל המינוס במונה, נקבל \( g' < 0 \) (ירידה). - מימין לקיצון (\( x > 1.5 \)): הפונקציה \( f \) יורדת, לכן \( f' < 0 \). בגלל המינוס במונה, נקבל \( g' > 0 \) (עלייה). מעבר מירידה לעלייה מעיד על נקודת מינימום. תשובה סופית: נקודת הקיצון היא \( (1.5, 0.5) \), וסוגה הוא מינימום.
מושגים: נקודות קיצון, קשר בין פונקציה לנגזרת
כדי לסרטט את \( g(x) \), אנו מתבססים על הממצאים הקודמים: 1. אסימפטוטות אנכיות: הנקודות שאיפסו את \( f(x) \) (קצוות תחום ההגדרה) הופכות לאסימפטוטות של הפונקציה החדשה: הישרים \( x=0 \) (ציר ה-\(y\)) ו- \( x=3 \). 2. נקודת קיצון: יש לנו נקודת מינימום ב- \( (1.5, 0.5) \). 3. התנהגות כללית (צורת U): הפונקציה מוגדרת רק בין האסימפטוטות. היא יורדת מאינסוף (מכיוון האסימפטוטה \(x=0\)) אל עבר נקודת המינימום, ואז עולה בחזרה ושואפת לאינסוף לכיוון האסימפטוטה \(x=3\). ראו את הסרטוט המלא והמדויק של \( g(x) \) בחלק "תשובות סופיות" למעלה.
מושגים: סרטוט גרפים, אסימפטוטות
התשובות הסופיות: 1. תחום הגדרה: \( 0 < x < 3 \) 2. נקודת קיצון: \( (1.5, 0.5) \) מסוג מינימום. 3. סרטוט סקיצה של \( g(x) \):
נתונים מתוך חקירה קודמת: לפניכם סקיצה של גרף הפונקציה f(x). - נקודות חיתוך עם ציר ה-x: (−3,0), (0,0) ו- (3,0). - נקודות קיצון: מקסימום בשיעורים (1.5,4) ומינימום בשיעורים (−1.5,−4).
מגדירים פונקציה חדשה g(x) המקיימת: g(x)=f(x)1 ענו על הסעיפים הבאים (נמקו את תשובותיכם והראו חישובים): 1. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x). 2. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x), וקבעו את סוגה. 3. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x) (ציינו אסימפטוטות אנכיות אם יש).
