MODE 53

איך להוציא שורש מהמכנה: ראציונליזציה של ביטויים

ראציונליזציה של מכנה: הכפלה במונה ובמכנה בצמוד או בשורש כדי לקבל מכנה רציונלי. דוגמאות לשורש בודד, להפרש שורשים, ולשורש שלישי.

עודכן ב-27 במאי 2026

ראציונליזציה של מכנה היא תהליך של הוצאת שורש מהמכנה, כדי להציג את התשובה בצורה סטנדרטית. השיטה תלויה בסוג הביטוי במכנה.

מקרה 1: שורש בודד במכנה

הביטוי: a/√b. הכפלה במונה ובמכנה ב-√b:

ab=ab⋅bb=abb\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}

דוגמה. 3/√2:

32=32⋅22=322\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}

מקרה 2: סכום או הפרש שורשים במכנה

הביטוי: a/(√b + √c) או a/(√b − √c). הכפלה בצמוד.

הצמוד של √b + √c הוא √b − √c, ולהפך. המכפלה היא הפרש ריבועים:

(b+c)(b−c)=b−c(\sqrt{b} + \sqrt{c})(\sqrt{b} - \sqrt{c}) = b - c

דוגמה. 1/(√3 + √2). הכפלה בצמוד √3 − √2:

13+2⋅3−23−2=3−23−2=3−2\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}

מקרה 3: שורש בתוספת או חיסור עם מספר

הביטוי: a/(b + √c) או a/(b − √c). הכפלה בצמוד b ∓ √c:

(b+c)(b−c)=b2−c(b + \sqrt{c})(b - \sqrt{c}) = b^2 - c

דוגמה. 5/(2 + √3):

52+3⋅2−32−3=5(2−3)4−3=5(2−3)=10−53\frac{5}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{5(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 5(2 - \sqrt{3}) = 10 - 5\sqrt{3}

מקרה 4: שורש שלישי במכנה

הביטוי: a/∛b. רוצים שהמכנה יהיה ∛b³ = b. מכפילים ב-(∛b)² / (∛b)²:

ab3⋅b23b23=ab23b\frac{a}{\sqrt[3]{b}} \cdot \frac{\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{b^2}} = \frac{a \sqrt[3]{b^2}}{b}

דוגמה. 2/∛5:

253⋅253253=22535\frac{2}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{25}} = \frac{2\sqrt[3]{25}}{5}

מקרה 5: שימוש בלימיט עם שורש

בחישוב גבול lim (√(x + 1) − 1)/x כש-x → 0, הצבה ישירה נותנת 0/0. הכפלה בצמוד:

x+1−1x⋅x+1+1x+1+1=(x+1)−1x(x+1+1)=xx(x+1+1)=1x+1+1\frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+1} + 1}{\sqrt{x+1} + 1} = \frac{(x + 1) - 1}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1}

הצבה ב-x = 0: 1/2.

ראציונליזציה הופכת 0/0 לביטוי שיכול להציב ישירות. ראו טעויות חישוב גבול.

דוגמה משולבת

פשטו: (√5 + 1)/(√5 − 1).

הכפלה בצמוד √5 + 1:

(5+1)2(5)2−12=5+25+14=6+254=3+52\frac{(\sqrt{5} + 1)^2}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{5 + 2\sqrt{5} + 1}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}

דוגמה. שני שורשים במונה

פשטו: (√3 − √2)/(√3 + √2).

הכפלה בצמוד √3 − √2:

(3−2)23−2=(3−2)2=3−26+2=5−26\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2}{3 - 2} = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6}

טעויות נפוצות

  • שכחה להכפיל גם במונה. הכפלה במכנה בלי המונה משנה את הערך. תמיד יחד.
  • בלבול בצמוד. הצמוד של √b − √c הוא √b + √c, לא −√b + √c.
  • טעות בריבוע. בפיתוח (√b + √c)² יש מונח ביניים 2√(bc), לא רק b + c.

עמודים קשורים