אסימפטוטה אנכית לעומת אסימפטוטה אופקית: זיהוי וחישוב

אסימפטוטה היא ישר שאליו הגרף מתקרב אבל לא נוגע (בדרך כלל). יש שני סוגים עיקריים: אנכית ואופקית. הם נמצאים בעזרת חישובים שונים.

אסימפטוטה אנכית

נמצאת ב-x = a אם:

$$\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$$

כלומר, כש-x מתקרב ל-a, הפונקציה גדלה ללא חסם.

איפה לחפש. נקודות שמחוץ לתחום ההגדרה, בדרך כלל אפסים של המכנה בפונקציה רציונלית.

אסימפטוטה אופקית

נמצאת ב-y = b אם:

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = b \quad \text{או} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = b$$

כלומר, כש-x שואף לאינסוף, הפונקציה מתקרבת לערך קבוע b.

איפה לחפש. התנהגות הפונקציה בקצוות התחום.

טבלת השוואה

דוגמה. פונקציה רציונלית

נתון: f(x) = (2x + 3)/(x − 1).

אסימפטוטה אנכית. המכנה אפס ב-x = 1. בדיקת הגבול:

$$\lim_{x \to 1^+} \frac{2x+3}{x-1} = +\infty, \quad \lim_{x \to 1^-} \frac{2x+3}{x-1} = -\infty$$

אז x = 1 הוא אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטה אופקית. התנהגות באינסוף:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2x+3}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + 3/x}{1 - 1/x} = 2$$

אז y = 2 הוא אסימפטוטה אופקית. אותה תשובה גם ב-x → −∞.

כללי אגודל לפונקציות רציונליות

לפונקציה f(x) = p(x)/q(x), כאשר p מדרגה n ו-q מדרגה m:

• n < m: אסימפטוטה אופקית y = 0.
• n = m: אסימפטוטה אופקית y = a_n/b_m (יחס המקדמים המובילים).
• n > m: אין אסימפטוטה אופקית. אם n = m + 1, יש אסימפטוטה משופעת (קו מהצורה y = mx + b).

אסימפטוטה אנכית בפונקציות אחרות

לא רק פונקציות רציונליות. למשל:

• ln(x) יש אסימפטוטה אנכית ב-x = 0 (הפונקציה שואפת ל-−∞).
• tan(x) יש אסימפטוטה אנכית בכל x = π/2 + kπ.

טעות שכיחה

תלמידים לעיתים אומרים "הפונקציה לא יכולה לחצות אסימפטוטה". זה נכון רק לאסימפטוטה אנכית, לא אופקית. למשל, f(x) = sin(x)/x שואפת ל-0 באינסוף, אז y = 0 הוא אסימפטוטה אופקית, אבל הפונקציה חוצה אותה אינסוף פעמים בקטעים סופיים.

אסימפטוטה משופעת

מקרה שלישי קיים גם. אם n = m + 1, יש אסימפטוטה משופעת. דוגמה: f(x) = x²/(x − 1). חלוקת פולינומים: f(x) = x + 1 + 1/(x−1). כש-x → ∞, 1/(x−1) → 0, אז f(x) מתקרבת לקו y = x + 1.

עמודים קשורים

• חקירת פונקציה רציונלית
• חקירת פונקציה לוגריתמית
• איך לחקור פונקציה פולינומית