מכפלה סקלרית לעומת מכפלה וקטורית: הבדלים ושימושים

המכפלה הסקלרית והמכפלה הוקטורית הן שתי פעולות שונות על שני וקטורים. הן מחזירות תוצאות מסוגים שונים ושימושיות במצבים שונים.

הגדרות

מכפלה סקלרית (Dot Product)

לשני וקטורים u = (u₁, u₂, u₃) ו-v = (v₁, v₂, v₃):

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$$

התוצאה היא מספר (סקלר).

נוסחה גאומטרית שווה ערך:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \theta$$

כאשר θ הזווית בין הוקטורים.

מכפלה וקטורית (Cross Product)

$$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}$$

התוצאה היא וקטור ניצב לשני הוקטורים המקוריים. אורך הוקטור:

$$|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \sin \theta$$

טבלת השוואה

דוגמאות חישוב

נתון: u = (1, 2, 3), v = (4, −5, 6).

מכפלה סקלרית

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-5) + 3 \cdot 6 = 4 - 10 + 18 = 12$$

מכפלה וקטורית

$$\vec{u} \times \vec{v} = (2 \cdot 6 - 3 \cdot (-5), 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6, 1 \cdot (-5) - 2 \cdot 4)$$ $$= (12 + 15, 12 - 6, -5 - 8) = (27, 6, -13)$$

בדיקה. מכפלה סקלרית של התוצאה עם u: 27·1 + 6·2 + (−13)·3 = 27 + 12 − 39 = 0. נכון, ניצב ל-u.

שימושים. מכפלה סקלרית

• זווית בין וקטורים: cos θ = (u·v)/(|u|·|v|).
• היטל וקטור: היטל u על v הוא (u·v)/|v|.
• בדיקת ניצבות: u ⊥ v אם ורק אם u·v = 0.

שימושים. מכפלה וקטורית

• וקטור ניצב למישור: נתונים שני וקטורים במישור. מכפלתם הוקטורית ניצבת למישור.
• שטח מקבילית: השטח שווה ל-|u × v|.
• שטח משולש: חצי מהמקבילית: S = |u × v|/2.
• בדיקת מקבילות: u ‖ v אם ורק אם u × v = 0.

דוגמה. שטח משולש במרחב

נתון: A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1). מצאו שטח משולש.

שלב 1. וקטורים: AB = (−1, 1, 0), AC = (−1, 0, 1).

שלב 2. מכפלה וקטורית:

$$\vec{AB} \times \vec{AC} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0, 0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1, (-1) \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) = (1, 1, 1)$$

שלב 3. אורך: √(1 + 1 + 1) = √3.

שלב 4. שטח: S = √3/2.

דוגמה. בדיקת ניצבות

נתון: u = (2, 3, −1), v = (1, −1, −1). ניצבים?

מכפלה סקלרית: 2·1 + 3·(−1) + (−1)·(−1) = 2 − 3 + 1 = 0. כן, ניצבים.

עמודים קשורים

• מכפלה סקלרית
• וקטורים
• גאומטריה אנליטית במרחב