חקירת פונקצית שורש: תחום, מונוטוניות, ושרטוט

חקירת פונקצית שורש היא חקירה של פונקציה מסוג f(x) = √(g(x)). שלבי החקירה כמו בכל פונקציה, אבל עם דגש על תחום ההגדרה.

תבנית

$$f(x) = \sqrt{g(x)}$$

כאשר g(x) פונקציה כלשהי (בדרך כלל לינארית, ריבועית, או רציונלית).

שלבי החקירה

1. תחום הגדרה

הביטוי תחת השורש חייב להיות אי-שלילי:

$$g(x) \geq 0$$

(שורש של 0 הוא 0, מותר.)

2. תחום הערכים

תמיד אי-שלילי: f(x) ≥ 0.

3. נקודות חיתוך

• ציר y: f(0) (אם מוגדר)
• ציר x: f(x) = 0 ⇒ g(x) = 0

4. נגזרת

לפי חוק השרשרת:

$$f'(x) = \frac{g'(x)}{2 \sqrt{g(x)}}$$

5. מונוטוניות

הסימן של f'(x) זהה לסימן של g'(x), כי המכנה תמיד חיובי (כאשר g > 0).

6. אסימפטוטות

• אסימפטוטה אנכית: אם g יורד לאפס בקצוות התחום אבל מעולם לא מגיע (אינו בתחום עצמו), אז ייתכן.
• אסימפטוטה אופקית: כאשר g(x) שואף לקבוע ב-x → ±∞.

דוגמה: חקירת f(x) = √(x² − 4)

תחום

$$x^2 - 4 \geq 0 \implies x \leq -2 \text{ או } x \geq 2$$

חיתוכים

• ציר y: f(0) לא מוגדר (לא בתחום).
• ציר x: x² − 4 = 0 ⇒ x = ±2. שני חיתוכים: (−2, 0) ו-(2, 0).

נגזרת

$$f'(x) = \frac{2x}{2 \sqrt{x^2 - 4}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}}$$

מונוטוניות

הסימן זהה לסימן של x:

• ב-x < −2: f'(x) < 0, יורדת.
• ב-x > 2: f'(x) > 0, עולה.

אסימפטוטות

אין אסימפטוטה אופקית כי f שואף לאינסוף כש-x ל-±∞. אין אסימפטוטה אנכית אמיתית כי הגרף מוגדר ב-x = ±2 (וערכו 0).

שרטוט

הפונקציה דמוית "כפיים פתוחות": שני ענפים שמתחילים מ-(−2, 0) ו-(2, 0) ועולים החוצה.

דוגמה 2: עם נגזרת מעניינת

חקרו: f(x) = √(4 − x²).

תחום

$$4 - x^2 \geq 0 \implies -2 \leq x \leq 2$$

חיתוכים

• ציר y: f(0) = 2 ⇒ (0, 2)
• ציר x: 4 − x² = 0 ⇒ x = ±2 ⇒ (±2, 0)

נגזרת

$$f'(x) = \frac{-2x}{2 \sqrt{4 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}}$$

• ב-x < 0: f'(x) > 0, עולה.
• ב-x > 0: f'(x) < 0, יורדת.
• ב-x = 0: מקסימום, f(0) = 2.

הפונקציה מתארת חצי מעגל בצידו העליון, ברדיוס 2.

טעויות נפוצות

1. שכחת תחום ההגדרה. הגבלת התחום היא בדרך כלל המקור לרוב הטעויות.
2. בלבול בין √x² ל-x. √(x²) = |x|, לא x.
3. שכחה שהתחום של הנגזרת קטן מתחום הפונקציה. בקצוות התחום הנגזרת עשויה לא להיות מוגדרת.

עמודים קשורים

• חקירת פונקציה
• חוק השרשרת
• סוגי שאלות