מתמטיקה · וקטורים במרחב

השאלה

נתונים שני ישרים מצטלבים. קטע AB נמצא על אחד הישרים, וקטע CF נמצא על הישר האחר. נקודה E היא אמצע הקטע AB (ראה ציור). נסמן: $\vec{EA} = \underline{w} \,,\,\, \vec{FE} = \underline{v} \,,\,\, \vec{CF} = \underline{u}$. נתון: $\underline{v} \perp \underline{u} \,,\,\, \underline{v} \perp \underline{w}$. $|\underline{u}| = \sqrt{7} \,,\,\, |\underline{v}| = \sqrt{13} \,,\,\, |\underline{w}| = \sqrt{5}$. קוסינוס הזווית בין הווקטורים $\underline{w}$ ו- $\underline{u}$ הוא $\frac{\sqrt{35}}{10}$. א. מצא את גודל הזווית ABC. נתון גם: $A(0, 2, 3) \,,\,\, B(2, 6, 3)$. מישור $\pi$ עובר דרך הנקודה B ומאונך לישר AB. ב. מצא את משוואת המישור $\pi$. ג. היעזר בתשובתך לסעיף א ומצא את גודל הזווית שבין הישר BC למישור $\pi$.

הטיפ של עובד

בחישוב זווית בין ישרים בגיאומטריה של וקטורים, הכלל החשוב ביותר הוא שהווקטורים חייבים לצאת מאותה נקודה! לכן, כדאי למצוא את זווית $\angle ABC$, לא מספיק להכפיל סתם וקטורים; אנחנו חייבים את $\vec{BA}$ ואת $\vec{BC}$. בנוסף, סעיף ג' הוא מתנת חינם: אל תתחילו לחשב זוויות מחדש. תזכרו שהזווית בין ישר למישור משלימה ל-90 מעלות את הזווית בין הישר לנורמל של המישור. והנורמל... הוא בדיוק הישר שכבר חישבתם מולו את הזווית בסעיף א'! כלומר נדרש כאן רק חיסור פשוט מ-90°.

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: הכנה: פענוח הנתונים המקדימים

לפני שנגש לפתרון, נתרגם את הנתונים המילוליים למכפלות סקלריות: - הווקטור $\underline{v}$ מאונך ל-$\underline{u}$ ול-$\underline{w}$, לכן: $\underline{v} \cdot \underline{u} = 0$ וגם $\underline{v} \cdot \underline{w} = 0$. - ריבועי הגדלים של הווקטורים: $\underline{u}^2 = 7$, $\underline{v}^2 = 13$, $\underline{w}^2 = 5$. - המכפלה הסקלרית בין $\underline{w}$ ל-$\underline{u}$ נתונה על ידי הנוסחה $\underline{w} \cdot \underline{u} = |\underline{w}| |\underline{u}| \cos\alpha$. נציב את הנתונים: \[ \underline{w} \cdot \underline{u} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{7} \cdot \frac{\sqrt{35}}{10} = \sqrt{35} \cdot \frac{\sqrt{35}}{10} = \frac{35}{10} = 3.5 \]

שלב 2: סעיף א': מציאת גודל הזווית ABC

כדי למצוא את הזווית במשולש דמיוני שקודקודו B, אנו צריכים את שני הווקטורים היוצאים מ-B: הווקטור $\vec{BA}$ והווקטור $\vec{BC}$. 1. בניית הווקטורים ממסלולים: נתון ש-$E$ אמצע $AB$, ו-$\vec{EA} = \underline{w}$. לכן, $\vec{BE} = \underline{w}$, והווקטור השלם הוא: $\vec{BA} = \vec{BE} + \vec{EA} = \underline{w} + \underline{w} = 2\underline{w}$. כדי להגיע מ-B ל-C, נלך על המסלול הידוע $B \to E \to F \to C$: $\vec{BC} = \vec{BE} + \vec{EF} + \vec{FC}$ נשים לב לכיווני החיצים בסרטוט: נתון $\vec{FE} = \underline{v}$, לכן $\vec{EF} = -\underline{v}$. נתון $\vec{CF} = \underline{u}$, לכן $\vec{FC} = -\underline{u}$. מכאן: $\vec{BC} = \underline{w} - \underline{v} - \underline{u}$. 2. חישוב המכפלה הסקלרית והגדלים: המכפלה הסקלרית: \[ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 2\underline{w} \cdot (\underline{w} - \underline{v} - \underline{u}) = 2\underline{w}^2 - 2\underline{w}\cdot\underline{v} - 2\underline{w}\cdot\underline{u} \] נציב את הערכים שחישבנו בהכנה: \[ = 2(5) - 2(0) - 2(3.5) = 10 - 7 = 3 \] גודל הווקטור $\vec{BA}$: \[ |\vec{BA}| = |2\underline{w}| = 2\sqrt{5} = \sqrt{20} \] גודל הווקטור $\vec{BC}$ בריבוע: \[ |\vec{BC}|^2 = (\underline{w} - \underline{v} - \underline{u})^2 = \underline{w}^2 + \underline{v}^2 + \underline{u}^2 - 2\underline{w}\cdot\underline{v} - 2\underline{w}\cdot\underline{u} + 2\underline{v}\cdot\underline{u} \] \[ |\vec{BC}|^2 = 5 + 13 + 7 - 0 - 2(3.5) + 0 = 25 - 7 = 18 \] לכן $|\vec{BC}| = \sqrt{18}$. 3. חישוב הזווית: \[ \cos(\angle ABC) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{3}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{18}} = \frac{3}{\sqrt{360}} \] \[ \angle ABC = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{360}}\right) \approx 80.9^\circ \]

מושגים: חיבור וקטורים במסלול

שלב 3: סעיף ב': מציאת משוואת המישור $\pi$

נתון כי המישור $\pi$ עובר דרך הנקודה $B(2, 6, 3)$ ומאונך לישר $AB$. מישור שמאונך לישר, משמעותו שווקטור הכיוון של הישר הוא בדיוק וקטור הנורמל של המישור! נחשב את הווקטור $\vec{AB}$ (ניתן גם להשתמש ב-$\vec{BA}$): $\vec{AB} = B - A = (2 - 0, 6 - 2, 3 - 3) = (2, 4, 0)$. כיוון שנורמל מייצג כיוון בלבד, נוכל לצמצם אותו ב-2 ולקבל נורמל נוח יותר: $\vec{h} = (1, 2, 0)$. תבנית משוואת המישור היא $1x + 2y + 0z + D = 0$. נציב את הנקודה $B(2, 6, 3)$ כדי למצוא את $D$: \[ 1(2) + 2(6) + D = 0 \quad \Rightarrow \quad 2 + 12 + D = 0 \quad \Rightarrow \quad D = -14 \] משוואת המישור היא: $x + 2y - 14 = 0$.

מושגים: בניית מישור מאונך לישר

שלב 4: סעיף ג': זווית בין ישר למישור

השאלה מבקשת את הזווית בין הישר $BC$ למישור $\pi$. נזכור כלל יסוד בגיאומטריה אנליטית: הזווית בין ישר למישור, והזווית בין הישר לנורמל של המישור – משלימות יחד ל-90 מעלות. בסעיף א', חישבנו את הזווית בין הישר $BC$ לבין הישר $AB$ (שהיא $80.9^\circ$). בסעיף ב', קבענו שהישר $AB$ הוא בדיוק הנורמל למישור $\pi$. כלומר, אנו כבר יודעים שהזווית בין הישר $BC$ לנורמל היא $80.9^\circ$. לכן, הזווית המבוקשת בין הישר $BC$ למישור עצמו היא המשלמה שלה ל-90 מעלות: \[ \alpha = 90^\circ - 80.9^\circ = 9.1^\circ \]

מושגים: הקשר בין זווית לנורמל לזווית למישור

תשובה סופית

התשובה הסופית: א. $80.9^\circ$ ב. $x + 2y - 14 = 0$ ג. $9.1^\circ$

חזרה לקטלוג

#185מתמטיקה

וקטורים במרחב

קראו את השאלה

שאלה

נתונים שני ישרים מצטלבים. קטע AB נמצא על אחד הישרים, וקטע CF נמצא על הישר האחר. נקודה E היא אמצע הקטע AB (ראה ציור).

נסמן: $\vec{EA} = \underline{w} \,,\,\, \vec{FE} = \underline{v} \,,\,\, \vec{CF} = \underline{u}$ . נתון: $\underline{v} \perp \underline{u} \,,\,\, \underline{v} \perp \underline{w}$ . $|\underline{u}| = \sqrt{7} \,,\,\, |\underline{v}| = \sqrt{13} \,,\,\, |\underline{w}| = \sqrt{5}$ . קוסינוס הזווית בין הווקטורים $\underline{w}$ ו- $\underline{u}$ הוא $\frac{\sqrt{35}}{10}$ . א. מצא את גודל הזווית ABC. נתון גם: $A(0, 2, 3) \,,\,\, B(2, 6, 3)$ . מישור $\pi$ עובר דרך הנקודה B ומאונך לישר AB. ב. מצא את משוואת המישור $\pi$ . ג. היעזר בתשובתך לסעיף א ומצא את גודל הזווית שבין הישר BC למישור $\pi$ .

עוד שאלות בוקטורים במרחב