מתמטיקה · וקטורים במרחב

שלב 1: סעיף א': הוכחת מאונכות למישור דרך מכפלה סקלרית

כדי להוכיח שהווקטור \(\vec{SM}\) מאונך למישור ABC, עלינו להוכיח שהוא מאונך לשני וקטורים בלתי תלויים הנמצאים במישור. נבחר את הווקטורים \(\vec{AB}\) ו-\(\vec{AC}\). תחילה, נביע את וקטורי המישור באמצעות \(\underline{u}, \underline{v}, \underline{w}\): \(\vec{AB} = \vec{SB} - \vec{SA} = \underline{v} - \underline{u}\) \(\vec{AC} = \vec{SC} - \vec{SA} = \underline{w} - \underline{u}\) נשתמש בתכונה מרכזית של פירמידה ישרה: כל המקצועות הצדדיים שווים באורכם. לכן: \(|\underline{u}| = |\underline{v}| = |\underline{w}| \quad \Rightarrow \quad \underline{u}^2 = \underline{v}^2 = \underline{w}^2\) נבדוק את המכפלה הסקלרית \(\vec{SM} \cdot \vec{AB}\): \[ \vec{SM} \cdot \vec{AB} = \left(\frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}\right) \cdot (\underline{v} - \underline{u}) \] נוציא גורם משותף \(\frac{1}{3}\) ונפתח סוגריים: \[ = \frac{1}{3} (\underline{u} \cdot \underline{v} - \underline{u}^2 + \underline{v}^2 - \underline{v} \cdot \underline{u} + \underline{w} \cdot \underline{v} - \underline{w} \cdot \underline{u}) \] נצמצם את האיברים: 1. \(\underline{u} \cdot \underline{v}\) מתבטל עם \(-\underline{v} \cdot \underline{u}\) (חוק החילוף). 2. כיוון ש- \(\underline{u}^2 = \underline{v}^2\), אז \(-\underline{u}^2 + \underline{v}^2 = 0\). 3. מתוך הנתון \(\underline{v} \cdot \underline{w} = \underline{u} \cdot \underline{w}\), נובע ש- \(\underline{w} \cdot \underline{v} - \underline{w} \cdot \underline{u} = 0\). סך הכל קיבלנו: \(\vec{SM} \cdot \vec{AB} = \frac{1}{3} \cdot 0 = 0\). כלומר, \(\vec{SM} \perp \vec{AB}\). באופן סימטרי לחלוטין, ביצוע המכפלה \(\vec{SM} \cdot \vec{AC}\) תניב גם היא \(0\). מסקנה: מכיוון ש-\(\vec{SM}\) מאונך לשני וקטורים בלתי תלויים במישור ABC, הוא מאונך למישור כולו.

מושגים: אנך למישור במרחב (סעיף א'), תכונות פירמידה ישרה (סעיף א')

שלב 2: סעיף ב': מציאת משוואת מישור הבסיס

כדי למצוא את משוואת המישור, נשתמש בקואורדינטות הנתונות כדי למצוא את נקודות הבסיס. נתון לנו \(\vec{SC} = \underline{w} = (0, \sqrt{3}, -2)\) וגם \(C = (0, \sqrt{3}, 0)\). נמצא את קודקוד הפירמידה S על ידי חיסור הווקטור מהנקודה C: \(\vec{SC} = C - S \quad \Rightarrow \quad S = C - \underline{w}\) \(S = (0, \sqrt{3}, 0) - (0, \sqrt{3}, -2) = (0, 0, 2)\) כעת נמצא את הנקודות A ו-B על ידי הוספת הווקטורים \(\underline{u}, \underline{v}\) לנקודה S: \(A = S + \underline{u} = (0, 0, 2) + \left(-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -2\right) = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)\) \(B = S + \underline{v} = (0, 0, 2) + \left(\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -2\right) = \left(\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)\) נשים לב לפרט המעניין: שיעור ה-\({z}\) של שלוש הנקודות \(A, B, C\) הוא בדיוק \(0\)! מכיוון ששלושתן מקיימות את המשוואה \(z = 0\) (והן אינן על ישר אחד), הרי שזוהי משוואת המישור. משוואת מישור ABC היא: \(z = 0\) (ווקטור הנורמל שלו הוא \((0, 0, 1)\)).

שלב 3: סעיף ג': מישור המקביל לישר ויוצר זווית נתונה

נסמן את וקטור הנורמל של המישור המבוקש \(\pi\) כ- \(\vec{h}_\pi = (a, b, c)\). 1. תנאי מקבילות לישר AB: המישור מקביל למקצוע AB, ולכן וקטור הכיוון של הישר מאונך לנורמל המישור. נמצא את וקטור הכיוון \(\vec{AB}\): \(\vec{AB} = B - A = \left(\frac{3}{2} - \left(-\frac{3}{2}\right), -\frac{\sqrt{3}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right), 0 - 0\right) = (3, 0, 0)\). הכיוון הוא \((1, 0, 0)\). נדרוש מכפלה סקלרית 0: \((a, b, c) \cdot (1, 0, 0) = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 0\). הנורמל שלנו הוא מהצורה \((0, b, c)\). כדי לצמצם משתנים, נוכל להניח \(c = 1\) (כיוון שהנורמל אינו וקטור האפס, ו-c אינו יכול להיות 0 כפי שנראה בהמשך). לכן נסמן: \(\vec{h}_\pi = (0, b, 1)\). 2. תנאי זווית בין מישורים: הזווית בין \(\pi\) למישור הבסיס (שהנורמל שלו הוא \(\vec{h}_{ABC} = (0, 0, 1)\)) היא \(30^\circ\). נציב בנוסחת הזווית בין מישורים: \[ \cos(30^\circ) = \frac{|\vec{h}_\pi \cdot \vec{h}_{ABC}|}{|\vec{h}_\pi| \cdot |\vec{h}_{ABC}|} \] \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{|(0, b, 1) \cdot (0, 0, 1)|}{\sqrt{0^2 + b^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1}} \] \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{\sqrt{b^2 + 1}} \] נעלה את שני האגפים בריבוע: \[ \frac{3}{4} = \frac{1}{b^2 + 1} \quad \Rightarrow \quad 3b^2 + 3 = 4 \quad \Rightarrow \quad 3b^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad b = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} \] מצאנו שני וקטורי נורמל אפשריים: \((0, \frac{1}{\sqrt{3}}, 1)\) או \((0, -\frac{1}{\sqrt{3}}, 1)\). לשם נוחות, נכפיל ב- \(\sqrt{3}\) ונקבל נורמלים: \((0, 1, \sqrt{3})\) ו- \((0, -1, \sqrt{3})\). 3. מציאת משוואות המישורים: המישור עובר דרך הנקודה נתונה \(C(0, \sqrt{3}, 0)\). נציב כל נורמל למציאת \(D\): אופציה 1 - נורמל \((0, 1, \sqrt{3})\): \(y + \sqrt{3}z + D = 0\) הצבת \(C\) תניב: \(\sqrt{3} + \sqrt{3}(0) + D = 0 \quad \Rightarrow \quad D = -\sqrt{3}\). משוואה 1: \(y + \sqrt{3}z - \sqrt{3} = 0\) אופציה 2 - נורמל \((0, -1, \sqrt{3})\): \(-y + \sqrt{3}z + D = 0\) הצבת \(C\) תניב: \(-\sqrt{3} + \sqrt{3}(0) + D = 0 \quad \Rightarrow \quad D = \sqrt{3}\). המשוואה היא \(-y + \sqrt{3}z + \sqrt{3} = 0\), שכפל ב-(1-) ייתן לנו: משוואה 2: \(y - \sqrt{3}z - \sqrt{3} = 0\)

מושגים: זווית בין מישורים ומקביליות (סעיף ג')