חזרה לקטלוג
#332חשבון דיפרנציאלי
משוואת משיק מנקודה חיצונית לגרף - פונקציית מנהקראו את השאלה
שאלה
נתונה הפונקציה:
מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה העוברים דרך הנקודה (4, 0).
משיקפונקציית מנהשתי משיקים
חשבון דיפרנציאלי · משוואת משיק מנקודה חיצונית לגרף - פונקציית מנה
השאלה
נתונה הפונקציה: f(x) = \frac{x+1}{x-2} מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה העוברים דרך הנקודה (4, 0).
הטיפ של עובד
מנקודה חיצונית לגרף של פונקציית מנה יכולים לצאת שני משיקים שונים. עליך למצוא את שתי נקודות ההשקה בעזרת פתרון משוואה ריבועית.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: חישוב הנגזרת
חשב את הנגזרת בעזרת כלל המנה: f'(x) = \frac{1 \cdot (x-2) - (x+1) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{x - 2 - x - 1}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2}
מושגים: כלל המנה
שלב 2: בניית משוואת התנאי
תהי (x₀, f(x₀)) נקודת השקה. משוואת המשיק: y - \frac{x_0+1}{x_0-2} = \frac{-3}{(x_0-2)^2}(x - x_0) המשיק עובר דרך (4, 0): 0 - \frac{x_0+1}{x_0-2} = \frac{-3}{(x_0-2)^2}(4 - x_0) -\frac{x_0+1}{x_0-2} = \frac{-3(4 - x_0)}{(x_0-2)^2}
מושגים: משוואת משיק
שלב 3: פתרון המשוואה
כפל שני האגפים ב-(x₀-2)²: -(x_0+1)(x_0-2) = -3(4 - x_0) -(x_0^2 - 2x_0 + x_0 - 2) = -12 + 3x_0 -(x_0^2 - x_0 - 2) = -12 + 3x_0 -x_0^2 + x_0 + 2 = -12 + 3x_0 -x_0^2 - 2x_0 + 14 = 0 x_0^2 + 2x_0 - 14 = 0 x_0 = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 56}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{60}}{2} = -1 \pm \sqrt{15}
מושגים: משוואה ריבועית
שלב 4: חישוב משוואות המשיקים
עבור x₀ = -1 + √15: f'(-1+\sqrt{15}) = \frac{-3}{(-1+\sqrt{15}-2)^2} = \frac{-3}{(-3+\sqrt{15})^2} = \frac{-3}{24 - 6\sqrt{15}} משוואת המשיק הראשון: y = m₁(x - 4) כאשר m₁ הוא השיפוע שחישבת. באופן דומה, עבור x₀ = -1 - √15 תקבל את משוואת המשיק השני.
מושגים: שיפוע, משוואת ישר
תשובה סופית
התשובה הסופית: שתי משוואות משיקים המתאימות לשתי נקודות השקה x₀ = -1 ± √15