חזרה לקטלוג
#331חשבון דיפרנציאלי
משוואת משיק מנקודה חיצונית לגרף - פונקציית מנהקראו את השאלה
שאלה
נתונה הפונקציה:
מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה השעובר דרך הנקודה (3, 2).
משיקפונקציית מנהנקודה חיצונית
חשבון דיפרנציאלי · משוואת משיק מנקודה חיצונית לגרף - פונקציית מנה
השאלה
נתונה הפונקציה: f(x) = \frac{2x}{x-1} מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה השעובר דרך הנקודה (3, 2).
הטיפ של עובד
נקודת ההשקה (x₀, f(x₀)) על הגרף חייבת לעמוד בשני תנאים: הנקודה על הגרף, והשיפוע של המשיק שווה לנגזרת בנקודה זו.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: חישוב הנגזרת
חשב את הנגזרת של הפונקציה בעזרת כלל המנה: f'(x) = \frac{2 \cdot (x-1) - 2x \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}
מושגים: כלל המנה, נגזרת
שלב 2: קביעת נקודת ההשקה
תהי נקודת ההשקה (x₀, f(x₀)). משוואת המשיק בנקודה זו היא: y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) המשיק חייב לעבור דרך (3, 2), לכן: 2 - \frac{2x_0}{x_0-1} = \frac{-2}{(x_0-1)^2}(3 - x_0)
מושגים: משוואת משיק, תנאי שקה
שלב 3: פתרון המשוואה
כפל שני האגפים ב-(x₀-1)²: \left(2 - \frac{2x_0}{x_0-1}\right)(x_0-1)^2 = -2(3 - x_0) \frac{2(x_0-1) - 2x_0}{x_0-1}(x_0-1)^2 = -2(3 - x_0) \frac{-2}{x_0-1}(x_0-1)^2 = -2(3 - x_0) -2(x_0-1) = -2(3 - x_0) x_0 - 1 = 3 - x_0 \Rightarrow 2x_0 = 4 \Rightarrow x_0 = 2
מושגים: פתרון משוואה
שלב 4: חישוב משוואת המשיק
כאשר x₀ = 2: f(2) = \frac{2 \cdot 2}{2-1} = 4 f'(2) = \frac{-2}{(2-1)^2} = -2 משוואת המשיק: y - 4 = -2(x - 2) \Rightarrow y = -2x + 8
מושגים: משוואת ישר
תשובה סופית
התשובה הסופית: y = -2x + 8