חזרה לקטלוג
#213חקירת פונקציות
תחום הגדרה של פונקציית שורשקראו את השאלה
שאלה
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה:
חקירת פונקציות · תחום הגדרה של פונקציית שורש
השאלה
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה: f(x) = \sqrt{x^2 - 3x - 10}
הטיפ של עובד
כאשר תחת השורש יש ביטוי ריבועי, צריך להפוך אותו לאי-שוויון ריבועי, למצוא את השורשים, ואז לקבוע בואיים אי-שוויון מתקיים
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: כתיבת תנאי ההגדרה
הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי תחת השורש הוא אי-שלילי: x^2 - 3x - 10 \geq 0
מושגים: תנאי הגדרה, אי-שוויון ריבועי
שלב 2: פתרון המשוואה הריבועית
נמצא את שורשי הביטוי על ידי פתרון x² - 3x - 10 = 0 בעזרת פירוק או נוסחה. x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2) = 0 x = 5 \text{ or } x = -2
מושגים: פירוק לגורמים, מציאת שורשים
שלב 3: ניתוח הסימן של הביטוי הריבועי
כיוון שהמקדם של x² חיובי (הוא 1), הפרבולה פונה למעלה. הביטוי אי-שלילי כאשר x קטן או שווה ל-2- או גדול או שווה ל-5. (x - 5)(x + 2) \geq 0 \implies x \leq -2 \text{ or } x \geq 5
מושגים: ניתוח סימנים, פרבולה
שלב 4: כתיבת התחום
תחום ההגדרה הוא איחוד של שני קטעים. D_f = (-\infty, -2] \cup [5, \infty)
מושגים: תחום הגדרה, איחוד קטעים
תשובה סופית
התשובה הסופית: D_f = (-\infty, -2] \cup [5, \infty)