חזרה לקטלוג
#217פונקציות שורש
תחום הגדרה של פונקציית שורש עם אי-שוויונות המכילים מונה ומכנהקראו את השאלה
שאלה
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה:
פונקציות שורש · תחום הגדרה של פונקציית שורש עם אי-שוויונות המכילים מונה ומכנה
השאלה
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה: g(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 4}{x + 1}}
הטיפ של עובד
כאשר המונה הוא ביטוי ריבועי, חשוב לפרק אותו לגורמים. הסימן של השבר תלוי בסימני המונה והמכנה בנפרד. זכור שבגורם כפול (כמו (x-2)²), הסימן לעולם לא משתנה.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: פרק את המונה
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) לכן הביטוי הופך להיות: g(x) = \sqrt{\frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 1}}
מושגים: פירוק לגורמים, הפרש ריבועים
שלב 2: זהה את הנקודות הקריטיות
הנקודות הקריטיות הן: x = -2, \quad x = -1, \quad x = 2 בנוסף, x ≠ -1 (מכנה לא יכול להיות אפס)
מושגים: נקודות קריטיות, תנאי מכנה
שלב 3: בדוק את הסימנים בכל קטע
קטעים: (-∞, -2], [-2, -1), (-1, 2], [2, ∞) בקטע (-∞, -2): x = -3 → מונה = (-)(-)=+, מכנה = (-) → שבר שלילי ✗ בקטע [-2, -1): x = -1.5 → מונה = (-)(+)=-, מכנה = (-) → שבר חיובי ✓ בקטע (-1, 2]: x = 0 → מונה = (-)(+)=-, מכנה = (+) → שבר שלילי ✗ בקטע [2, ∞): x = 3 → מונה = (+)(+)=+, מכנה = (+) → שבר חיובי ✓
מושגים: בדיקת סימנים, טבלת סימנים
שלב 4: רשום את תחום ההגדרה
הנקודות x = -2 ו-x = 2 כלולות (המונה אפס, השבר = 0). הנקודה x = -1 לא כלולה (מכנה אפס). \text{Domain: } [-2, -1) \cup [2, \infty)
מושגים: תחום הגדרה, קטעים סגורים וחצי-פתוחים
תשובה סופית
התשובה הסופית: [-2, -1) \cup [2, \infty)