גיאומטריה · גיאומטריה במעגל

השאלה

שני מעגלים נחתכים בנקודות $ B $ ו- $ D $, כמתואר בסרטוט. הנקודה $ A $ נמצאת על המעגל הקטן. הקטע $ AD $ משיק למעגל הגדול בנקודה $ D $. הנקודה $ C $ נמצאת על המעגל הגדול, כך שמתקיים: $ DC \parallel AB $. א. הוכיחו כי $ \Delta ABD \sim \Delta BDC $. הנקודה $ E $ נמצאת על הקטע $ DB $, כך שמתקיים: $ AB \cdot DE = AD \cdot BE $. ב. הוכיחו כי $ \measuredangle DBC = 2 \cdot \measuredangle BAE $. נתון: $ AB = 4a $, $ DC = 9a $, $ BC = 12a $. ג. הוכיחו כי $ AB = DE $. נסמן את שטח המשולש $ AEB $ ב- $ S $. ד. הביעו באמצעות $ S $ את שטח המרובע $ ABCD $.

הטיפ של עובד

💡 בגיאומטריה של מעגלים, זווית בין משיק למיתר תמיד שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר מצידו השני. כאן $ AD $ משיק ו- $ DB $ הוא מיתר, מה שמספק לנו זווית אחת במתנה! שימו לב גם לנתון המעניין בסעיף ב' – אם מבודדים יחסים, מקבלים את המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית.

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: סעיף א': דמיון משולשים

נוכיח כי המשולשים דומים לפי משפט ז.ז (זווית-זווית): 1. נתון כי $ DC \parallel AB $. 2. מכאן נובע ש- $ \measuredangle ABD = \measuredangle BDC $ (זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים). 3. נתון כי $ AD $ משיק למעגל הגדול בנקודה $ D $. בנוסף, $ BD $ הוא מיתר במעגל הגדול. 4. לפי המשפט: זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר מצידו השני. לכן: $ \measuredangle ADB = \measuredangle BCD $. 5. מצאנו שתי זוויות שוות בהתאמה: $ \measuredangle ABD = \measuredangle BDC $ וכן $ \measuredangle ADB = \measuredangle BCD $. 6. לכן, $ \Delta ABD \sim \Delta BDC $ לפי משפט דמיון זווית-זווית (ז.ז). מ.ש.ל א'.

מושגים: זווית בין משיק למיתר

שלב 2: סעיף ב': הוכחת הקשר בין הזוויות

1. נתון הקשר: $ AB \cdot DE = AD \cdot BE $. 2. נחלק את שני האגפים ונקבל את הפרופורציה: $ \frac{DE}{BE} = \frac{AD}{AB} $. 3. במשולש $ ABD $, הנקודה $ E $ נמצאת על הצלע $ BD $. ראינו שהיא מחלקת את הצלע $ BD $ ביחס השווה ליחס שתי הצלעות האחרות של המשולש. 4. לפי המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית, הקטע $ AE $ חייב להיות חוצה הזווית $ \measuredangle DAB $. 5. מכאן ש- $ \measuredangle DAE = \measuredangle BAE $, ולכן ניתן לרשום: $ \measuredangle DAB = 2 \cdot \measuredangle BAE $. 6. מסעיף א' הראינו שהמשולשים דומים ($ \Delta ABD \sim \Delta BDC $). במשולשים דומים כל הזוויות המתאימות שוות. 7. הזווית השלישית בכל משולש חייבת להיות שווה בהתאמה: $ \measuredangle DAB $ (במשולש $ ABD $) מתאימה ל- $ \measuredangle DBC $ (במשולש $ BDC $). כלומר: $ \measuredangle DAB = \measuredangle DBC $. 8. מכלל המעבר (הצבת השוויון מסעיף 5 לתוך סעיף 7), נקבל: $ \measuredangle DBC = 2 \cdot \measuredangle BAE $. מ.ש.ל ב'.

מושגים: המשפט ההפוך לחוצה זווית

שלב 3: סעיף ג': הוכחת שוויון צלעות

1. נתון: $ AB = 4a $, $ DC = 9a $, $ BC = 12a $. 2. נשתמש ביחס הדמיון שהוכחנו בסעיף א' ($ \Delta ABD \sim \Delta BDC $): $ \frac{AB}{BD} = \frac{BD}{DC} = \frac{AD}{BC} $ 3. נציב את הנתונים לתוך השוויון הראשון: $ \frac{4a}{BD} = \frac{BD}{9a} $. 4. כפל בהצלבה ייתן לנו: $ BD^2 = 36a^2 $. נוציא שורש ונקבל: $ BD = 6a $. 5. כעת נשתמש בשוויון השני למציאת $ AD $: $ \frac{4a}{6a} = \frac{AD}{12a} $. 6. נצמצם את השבר ל-$ \frac{2}{3} $, ונקבל $ \frac{AD}{12a} = \frac{2}{3} $. מכאן $ AD = \frac{2 \cdot 12a}{3} = 8a $. 7. כעת נחזור ליחס חוצה הזווית מסעיף ב': $ \frac{DE}{BE} = \frac{AD}{AB} $. 8. נציב את הצלעות שמצאנו: $ \frac{DE}{BE} = \frac{8a}{4a} = 2 $. לכן: $ DE = 2 \cdot BE $. 9. אנו יודעים שהנקודה $ E $ על הקטע $ BD $, כלומר $ BD = BE + DE = 6a $. 10. נציב את $ DE $: $ BE + 2 \cdot BE = 6a \Rightarrow 3BE = 6a \Rightarrow BE = 2a $. 11. נחשב את $ DE $: $ DE = 2 \cdot 2a = 4a $. 12. קיבלנו ש- $ DE = 4a $, ונתון ש- $ AB = 4a $. לכן, $ AB = DE $. מ.ש.ל ג'.

שלב 4: סעיף ד': חישוב שטח המרובע ABCD

1. נתון לנו שטח המשולש $ S_{\Delta AEB} = S $. 2. המשולשים $ ADE $ ו- $ AEB $ חולקים את אותו קודקוד $ A $, ובסיסיהם $ DE $ ו- $ BE $ מונחים על אותו ישר ($ BD $). משמעות הדבר היא שיש להם את אותו הגובה. 3. לכן, יחס השטחים שלהם שווה ליחס הבסיסים: $ \frac{S_{\Delta ADE}}{S_{\Delta AEB}} = \frac{DE}{BE} $. 4. חישבנו קודם ש- $ DE = 4a $ ו- $ BE = 2a $, כלומר היחס הוא 2. לכן: $ S_{\Delta ADE} = 2 \cdot S = 2S $. 5. שטח המשולש $ ABD $ השלם הוא סכום שני השטחים: $ S_{\Delta ABD} = S_{\Delta AEB} + S_{\Delta ADE} = S + 2S = 3S $. 6. מסעיף א' אנו יודעים כי $ \Delta ABD \sim \Delta BDC $. משפט בסיסי בדמיון קובע שיחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון. 7.מצא את יחס הדמיון על פי זוג צלעות מתאימות: $ \frac{DC}{BD} = \frac{9a}{6a} = \frac{3}{2} $ (או $ 1.5 \export )). 8. יחס השטחים יהיה: \( \frac{S_{\Delta BDC}}{S_{\Delta ABD}} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2.25 $. 9. לכן, השטח של משולש $ BDC $ הוא: $ S_{\Delta BDC} = 2.25 \cdot S_{\Delta ABD} = 2.25 \cdot 3S = 6.75S $. 10. שטח המרובע כולו הוא סכום שטחי שני המשולשים המרכיבים אותו: $ S_{ABCD} = S_{\Delta ABD} + S_{\Delta BDC} = 3S + 6.75S = 9.75S $. תשובה סופית: השטח הוא $ 9.75S $ (או $ \frac{39}{4}S $).

מושגים: יחסי שטחים

תשובה סופית

התשובה הסופית: 9.75S

חזרה לקטלוג

#2גיאומטריה

גיאומטריה במעגל

קראו את השאלה

שאלה

שני מעגלים נחתכים בנקודות $B$ ו- $D$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $A$ נמצאת על המעגל הקטן. הקטע $AD$ משיק למעגל הגדול בנקודה $D$ . הנקודה $C$ נמצאת על המעגל הגדול, כך שמתקיים: $DC \parallel AB$ .

א. הוכיחו כי $\Delta ABD \sim \Delta BDC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הקטע $DB$ , כך שמתקיים: $AB \cdot DE = AD \cdot BE$ . ב. הוכיחו כי $\measuredangle DBC = 2 \cdot \measuredangle BAE$ . נתון: $AB = 4a$ , $DC = 9a$ , $BC = 12a$ . ג. הוכיחו כי $AB = DE$ . נסמן את שטח המשולש $AEB$ ב- $S$ . ד. הביעו באמצעות $S$ את שטח המרובע $ABCD$ .

עוד שאלות בגיאומטריה במעגל