גיאומטריה · גיאומטריה במעגל
השאלה
השאלה: גיאומטריה במעגל נתון קוטר $BC$ במעגל שמרכזו $O$. הנקודה $A$ נמצאת על המעגל והנקודה $D$ היא אמצע הקשת $\widehat{AC}$. א. הוכחו כי $\angle ABD = \angle CBD$. ב. הוכחו כי $OD \perp AC$. ג. הנקודה $M$ היא נקודת החיתוך בין המיתר $AC$ לרדיוס $OD$. הוכחו כי $OM = \frac{1}{2}AB$. ד. נתון: $OM = MC$. הוכחו כי $AO \perp BC$. ה. הנקודה $K$ היא נקודת החיתוך בין הקטע $BM$ לרדיוס $AO$. נתון: $S_{\triangle BKO} = 3$. מצאו את אורך הקטע $AB$. שרטוט גיאומטרי מעודכן
הטיפ של עובד
שימו לב לנקודה $K$. ב-$\triangle ABC$, גם $AO$ וגם $BM$ הם תיכונים. זה אומר ש-$K$ היא נקודת מפגש התיכונים, והיא מחלקת אותם ביחס של 1:2. זה הופך את החישוב בסעיף ה' למשחק ילדים!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: א-ב: קשתות ורדיוסים
מכיוון ש-$D$ היא אמצע הקשת $\widehat{AC}$, הקשתות $\widehat{AD}$ ו-$\widehat{DC}$ שוות. זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות הן שוות, ולכן $\angle ABD = \angle CBD$. רדיוס העובר דרך אמצע הקשת מאונך למיתר המתאים, לכן $OD \perp AC$.
מושגים: קשתות שוות, זוויות היקפיות, רדיוס ומיתר
שלב 2: ג: קטע אמצעים במשולש
במשולש $\triangle ABC$, הנקודה $O$ היא אמצע $BC$. הקטע $OM$ מאונך ל-$AC$, ומכיוון שגם $AB \perp AC$ (זווית היקפית הנשענת על קוטר), $OM \parallel AB$. לכן $OM$ הוא קטע אמצעים ב-$\triangle ABC$ ומתקיים $OM = \frac{1}{2}AB$.
מושגים: קטע אמצעים, משפט קטע אמצעים, קוטר וזווית היקפית
שלב 3: ד: הוכחת ניצבות AO ל-BC
נתון $OM=MC$. ב-$\triangle OMC$ ישר הזווית, הניצבים שווים ולכן זווית $\angle C = 45°$. ב-$\triangle AOC$, מכיוון ש-$AO=OC=R$, זוויות הבסיס הן $45°$, ולכן זווית הראש $\angle AOC = 90°$, מה שאומר ש-$AO \perp BC$.
מושגים: משולש ישר זווית, משולש שווה שוקיים, זוויות בסיס
שלב 4: ה: חישוב אורך AB
$AO$ ו-$BM$ הם תיכונים, לכן $K$ נקודת מפגש תיכונים המחלקת את $AO$ כך ש-$KO = \frac{1}{3}AO = \frac{R}{3}$. S_{\triangle BKO} = \frac{R \cdot \frac{R}{3}}{2} = \frac{R^2}{6} = 3 \Rightarrow R^2 = 18 במשולש $\triangle ABC$ (ישר זווית ושווה שוקיים): AB^2 + AC^2 = BC^2 \Rightarrow 2AB^2 = 4R^2 \Rightarrow AB^2 = 2 \cdot 18 = 36 \Rightarrow AB = 6
מושגים: תיכונים, נקודת מפגש תיכונים, שטח משולש
תשובה סופית
התשובה הסופית: 6
