משולש חד-זוויות $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$. הקטע $CF$ הוא קוטר במעגל. המשך הרדיוס $BO$ חותך את הצלע $AC$ בנקודה $D$. נסמן: $\angle ABD = \alpha$. נתון כי הקשת $BC$ ארוכה פי 2 מהקשת $FB$. שרטוט גיאומטרי לשאלה 2 א. חשב את גודל הזווית $\angle BAC$. ב. הבע באמצעות $\alpha$ את היחס בין הקטעים $\frac{AD}{AB}$. ג. הוכח כי היחס בין שטח המשולש $ABD$ לשטח המשולש $ABC$ שווה ליחס $\frac{AD}{AC}$. ד. נתון כי שטח המשולש $ABD$ מהווה $40\%$ משטח המשולש $ABC$. מצא את ערך הזווית $\alpha$.
הטיפ של עובד
כדי לפתור את סעיף ד', השתמש ביחס שמצאת בב' ובקשר שמצאת בג'. שים לב שעליך לבטא את $AC$ באמצעות $AB$ בעזרת משפט הסינוסים. בפישוט המשוואה, שימוש בזהויות טריגונומטריות יעזור לך.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: חלק א: חישוב הזווית BAC
בעזרת הנתון שהקשת $BC$ ארוכה פי 2 מהקשת $FB$, ובשימוש בתכונות זוויות היקפיות ומרכזיות במעגל, ניתן להסיק שהזווית $\angle BAC$, המצויה על הקשת $BC$, קשורה לזוויות המרכזיות. \angle BAC = 60^\circ
מושגים: זוויות היקפיות, קשתות במעגל, זווית מרכזית
שלב 2: חלק ב: ביטוי היחס AD/AB
במשולש $ABD$, ניתן להשתמש במשפט הסינוסים. הזווית $\angle ADB$ היא החיצונית לזווית $\angle BDC$ (המשלימה את זווית $\angle BDC$ ל-$180^\circ$). בעזרת הזוויות המעורבות, מתקבל: \frac{AD}{AB} = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(120^\circ - \alpha)}
מושגים: משפט הסינוסים, יחסים בין צלעות, משולש
שלב 3: חלק ג: הוכחת יחס השטחים
המשולשים $ABD$ ו-$ABC$ חולקים את אותה גובה מנקודה $B$ לישר $AC$. לכן, יחס השטחים שלהם שווה ליחס הבסיסים: \frac{[ABD]}{[ABC]} = \frac{AD}{AC}
מושגים: שטח משולש, יחסים בין שטחים, גיאומטריה
שלב 4: חלק ד: מציאת הזווית α
מנתון: $\frac{[ABD]}{[ABC]} = 0.4$. בעזרת תוצאה מחלק ג': $\frac{AD}{AC} = 0.4$, כלומר $AD = 0.4 \cdot AC$. בעזרת משפט הסינוסים על משולש $ABC$ ונתון שהזווית $\angle BAC = 60^\circ$, ניתן לבטא את $AC$ באמצעות $AB$. כשנציב את הקשרים מחלק ב' וג' במשוואה, ונפתור בעזרת זהויות טריגונומטריות, מתקבל: \alpha \approx 17.63^\circ
מושגים: משוואה טריגונומטרית, אחוזים, זהויות טריגונומטריות, משפט הסינוסים
