משולש $\triangle ABC$ חסום במעגל שמרכזו בנקודה $O$. הנקודה $D$ היא נקודת החיתוך של המשך $CO$ עם הקטע $AB$. נתון: $\angle ACD = \alpha$, $\angle BCD = \beta$. שרטוט גיאומטרי של משולש חסום במעגל א. הוכח: $\frac{AD}{BD} = \frac{\sin(2\alpha)}{\sin(2\beta)}$ ב. נתון: $S_{\triangle ABO} = 2 \cdot S_{\triangle ADO}$ הבע באמצעות $\alpha$ את זוויות המשולש $\triangle ABC$. ג. נסמן: $AB = m$ הבע באמצעות $m$ ו-$\alpha$ את רדיוס המעגל החסום במשולש $\triangle ABC$. ד. נתון כי הנקודה $O$ היא גם מרכז המעגל החסום במשולש $\triangle ABC$. הבע באמצעות $m$ את היקף המעגל החסום במשולש $\triangle ABC$.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: הוכחת היחס בין הקטעים
בעזרת משפט הסינוסים במשולשים $\triangle ACD$ ו-$\triangle BCD$, נוכל להביע את היחס בין הקטעים $AD$ ו-$BD$ באמצעות הזוויות $\alpha$ ו-$\beta$. כאשר $C$ נמצאת על המעגל ו-$O$ הוא מרכזו, הקשר בין הזוויות ההיקפיות לזוויות המרכזיות נותן לנו את היחס המדויק. \frac{AD}{BD} = \frac{\sin(2\alpha)}{\sin(2\beta)}
מושגים: משפט הסינוסים, זוויות היקפיות, משולש חסום
שלב 2: מציאת זוויות המשולש
מתנאי השטח $S_{\triangle ABO} = 2 \cdot S_{\triangle ADO}$, ובהתחשב בכך ששתי המשולשים חולקים גובה משותף מנקודה $A$, נקבל שהיחס בין הבסיסים הוא $BD = 2 \cdot AD$. שילוב עם תוצאת סעיף א מאפשר לנו למצוא את זוויות המשולש. \angle CAB = 2\alpha, \quad \angle ABC = 90^\circ - \alpha, \quad \angle ACB = 90^\circ - \alpha
מושגים: שטח משולש, יחס בסיסים, סכום זוויות
שלב 3: רדיוס המעגל החסום
על סמך הזוויות מסעיף ב וביודעינו כי $AB = m$, ניתן לחשב את צלעות המשולש. בעזרת הנוסחה $r = \frac{S}{s}$ כאשר $S$ הוא השטח ו-$s$ חצי ההיקף, נוכל להביע את רדיוס המעגל החסום. r = \frac{m \cos \alpha}{2(1 + \sin \alpha)}
מושגים: מעגל חסום, שטח משולש, היקף משולש, נוסחת הרדיוס
שלב 4: היקף המעגל החסום
בהינתן שהנקודה $O$ היא מרכז המעגל החסום, הרדיוס שחישבנו בסעיף ג הוא הרדיוס של מעגל זה. היקף המעגל מחושב לפי הנוסחה $C = 2\pi r$. C = \frac{\sqrt{3} \pi m}{3}
