חקירת פונקציות · חקירת פונקציה רציונלית
השאלה
חקירת פונקציה רציונלית נתונה הפונקציה: f(x) = \frac{(x+2a)^2}{(x+a)^4} (נתון: $a > 0$ הוא פרמטר) א. חקור את הפונקציה $f(x)$ וענה על תתי-הסעיפים הבאים: 1. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. 2. מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. 3. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. 4. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. ב. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. ג. לפניך המשוואה $f(x) = k$, כאשר $k$ הוא פרמטר. מצא את ערך ה-$k$ עבורו למשוואה יש בדיוק שלושה פתרונות שונים. נמק בעזרת הגרף שסרטטת. ד. נסמן ב-$S$ את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה $f(x)$, ציר ה-$x$ והישרים $x = -3a$ ו-$x = -2a$. קבע האם $S$ גדול מהביטוי $\frac{1}{16a}$, קטן ממנו או שווה לו. נמק את קביעתך.
הטיפ של עובד
חברים, בסעיף ד' אל תנסו לחשב את האינטגרל! דמיינו מלבן שחוסם את הגרף: הרוחב שלו הוא $a$ והגובה שלו הוא ה-y המקסימלי ($\frac{1}{16a^2}$). שטח המלבן הוא בדיוק $\frac{1}{16a}$. מאחר והפונקציה יורדת מהשיא לאפס, השטח תחתיה תמיד יהיה קטן משטח המלבן.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: תחום הגדרה
המכנה $(x+a)^4$ חייב להיות שונה מאפס, ולכן $x \neq -a$.
מושגים: תחום הגדרה, רציונלית
שלב 2: אסימפטוטות
אסימפטוטה אנכית: $x = -a$ (כאשר המכנה מתאפס). אסימפטוטה אופקית: מעלת המונה היא 2, מעלת המכנה היא 4. כיוון שמעלת המונה קטנה יותר, $y = 0$ היא אסימפטוטה אופקית.
מושגים: אסימפטוטות, גבול, רציונלית
שלב 3: נקודות חיתוך עם הצירים
חיתוך עם ציר x: $f(x) = 0 \Rightarrow (x+2a)^2 = 0 \Rightarrow x = -2a$, נקודה: $(-2a, 0)$. חיתוך עם ציר y: $f(0) = \frac{(2a)^2}{a^4} = \frac{4}{a^2}$, נקודה: $(0, \frac{4}{a^2})$.
מושגים: נקודות חיתוך, צירים
שלב 4: נקודות קיצון
חישוב הנגזרת ופתרון $f'(x) = 0$ נותן את הנקודות הקריטיות. מקסימום: $(-3a, \frac{1}{16a^2})$. מינימום: $(-2a, 0)$.
מושגים: נגזרת, קיצון, מקסימום, מינימום
שלב 5: סקיצת הגרף
סקיצת גרף הפונקציה
מושגים: גרף, ויזואליזציה
שלב 6: מציאת k עבור שלוש פתרונות
מהגרף ניתן לראות שהקו $y = k$ חוצה את עקומת הפונקציה בשלוש נקודות בדיוק כאשר $k$ שווה לערך של המקסימום. לכן: $k = \frac{1}{16a^2}$.
מושגים: גרף, משוואה, פתרונות
שלב 7: השוואת שטח האינטגרל
השטח $S$ בין הגרף, ציר ה-x בתחום $[-3a, -2a]$ קטן משטח המלבן החוסם. המלבן בעל רוחב $a$ וגובה $\frac{1}{16a^2}$, כלומר שטח $= \frac{1}{16a}$. מאחר שהגרף אינו ממלא את כל המלבן, $S < \frac{1}{16a}$.
מושגים: אינטגרל, שטח, הערכה, גרף
