חקירת פונקציות · חקירת פונקציה רציונלית
השאלה
נתונה הפונקציה: f(x) = \frac{3-x}{\sqrt{x^2 + ax + 5}} - 1 ידוע כי לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אנכית בנקודה $x = 5$. א. מצאו את הפרמטר $a$. ב. ענו על הסעיפים הבאים עבור הפונקציה $f(x)$: (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה. (2) מצאו את האסימפטוטות המאונכות לצירים. (3) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה (אם יש כאלה). ג. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. ד. נגדיר פונקציה חדשה $g(x) = |f(x+5)|$. (1) מהו תחום ההגדרה והאסימפטוטות המאונכות לצירים של $g(x)$? נמקו! (2) שרטטו את פונקציית $g(x)$.
הטיפ של עובד
שימו לב לסעיף ד' - הזזה של פונקציה שמאלה ב-5 יחידות משנה את כל ה-x-ים של האסימפטוטות והתחום. הערך המוחלט לעומת זאת, מטפל ב-y-ים. זו חקירה שבוחנת אם אתם באמת מבינים טרנספורמציות!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: מציאת הפרמטר a
אסימפטוטה אנכית מתרחשת כאשר המכנה מתאפס והמונה אינו מתאפס באותה נקודה. נתון כי $x=5$ היא אסימפטוטה אנכית, לכן נציב $x=5$ בביטוי שבתוך השורש במכנה ונשוה לאפס: 5^2 + a(5) + 5 = 0 25 + 5a + 5 = 0 30 + 5a = 0 \Rightarrow 5a = -30 \Rightarrow a = -6 נבדוק שהמונה לא מתאפס: עבור $x=5$, המונה הוא $3-5 = -2$, לכן זו אכן אסימפטוטה אנכית.
מושגים: אסימפטוטה אנכית, פונקציה רציונלית, מכנה
שלב 2: תחום הגדרה
הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי בתוך השורש חיובי ממש (כי הוא במכנה): x^2 - 6x + 5 > 0 נמצא את שורשי הטרינום: $(x-1)(x-5) = 0$, כלומר $x=1, x=5$. מכיוון שזו פרבולה "מחייכת", התחום החיובי הוא: $x < 1$ או $x > 5$
מושגים: תחום הגדרה, אי-שוויון, טרינום
שלב 3: אסימפטוטות מאונכות לצירים
אנכיות: הנקודות המאפסות מכנה הן $x=1$ ו-$x=5$. שתיהן בתחום הקצה של הפונקציה ולא מאפסות מונה. אופקיות: נבחן את הגבולות באינסוף: עבור $x \to \infty$: \lim_{x \to \infty} \left( \frac{3-x}{\sqrt{x^2-6x+5}} - 1 \right) = \frac{-1}{1} - 1 = -2 \Rightarrow y = -2 עבור $x \to -\infty$: \lim_{x \to -\infty} \left( \frac{3-x}{\sqrt{x^2-6x+5}} - 1 \right) = \frac{-(-1)}{1} - 1 = 1 - 1 = 0 \Rightarrow y = 0
מושגים: אסימפטוטה אופקית, גבול באינסוף, חקירה
שלב 4: תחומי עלייה וירידה
נגזור את הפונקציה בשימוש בנגזרת מנה: f'(x) = \frac{-1 \cdot \sqrt{x^2-6x+5} - (3-x) \cdot \frac{2x-6}{2\sqrt{x^2-6x+5}}}{x^2-6x+5} לאחר פישוט המונה (הכפלה בשורש): $\frac{-(x^2-6x+5) - (3-x)(x-3)}{\dots} = \frac{-x^2+6x-5 + (x-3)^2}{\dots} = \frac{4}{\dots}$ הנגזרת תמיד חיובית בתחום ההגדרה, לכן הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.
מושגים: נגזרת, עלייה, חקירת פונקציה
שלב 5: טרנספורמציה g(x) = |f(x+5)|
1. הזזה (x+5): הפונקציה זזה שמאלה ב-5 יחידות. לכן אסימפטוטות $x=1, 5$ הופכות ל-$x=-4, 0$. 2. ערך מוחלט: כל מה שמתחת לציר ה-x (ה-y-ים השליליים) משתקף כלפי מעלה. האסימפטוטה האופקית $y=-2$ הופכת ל-$y=2$, והאסימפטוטה $y=0$ נשארת במקומה. תחום $g(x)$: $x < -4$ או $x > 0$. אנכיות: $x=-4, x=0$. אופקיות: $y=2, y=0$.
מושגים: הזזה, ערך מוחלט, טרנספורמציה
