חזרה לקטלוג
#219חקירת פונקציות
נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה בפונקציית שורשקראו את השאלה
שאלה
נתונה הפונקציה
א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ב. מצא את הנקודות בהן הנגזרת מתאפסת או אינה קיימת. ג. קבע את תחומי העליה והירידה של הפונקציה.
חקירת פונקציות · נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה בפונקציית שורש
השאלה
נתונה הפונקציה g(x) = \sqrt{x^2 - 6x + 8} + 2 א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ב. מצא את הנקודות בהן הנגזרת מתאפסת או אינה קיימת. ג. קבע את תחומי העליה והירידה של הפונקציה.
הטיפ של עובד
כאשר הביטוי תחת השורש הוא ריבועי, בדוק בעיון את תחום ההגדרה. הנגזרת עשויה להיות אפס בנקודה פנימית או שלא קיימת בנקודות הגבול של התחום.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: מציאת תחום הגדרה
נדרוש שהביטוי תחת השורש יהיה אי שלילי: x^2 - 6x + 8 \geq 0 נפרק לגורמים: x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4) \geq 0 הביטוי חיובי כאשר x קטן או שווה 2, או כאשר x גדול או שווה 4: \text{Domain: } (-\infty, 2] \cup [4, \infty)
מושגים: תחום הגדרה, אי שוויון
שלב 2: חישוב הנגזרת
נגזור באמצעות כלל השרשרת: g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 6x + 8}} \cdot (2x - 6) = \frac{x-3}{\sqrt{x^2 - 6x + 8}} הנגזרת מתאפסת כאשר x = 3, אך x = 3 לא בתחום ההגדרה! הנגזרת לא קיימת בנקודות x = 2 ו x = 4 (בנקודות הגבול בהן המכנה מתאפס).
מושגים: כלל השרשרת, נקודות שנגזרת לא קיימת
שלב 3: קביעת תחומי העליה והירידה
נבחן את סימן הנגזרת בכל חלק של תחום ההגדרה: \text{ב } (-\infty, 2] \text{: בחר } x = 0 \Rightarrow g'(0) = \frac{-3}{\sqrt{8}} < 0 הפונקציה יורדת בתחום זה. \text{ב } [4, \infty) \text{: בחר } x = 5 \Rightarrow g'(5) = \frac{2}{\sqrt{3}} > 0 הפונקציה עולה בתחום זה.
מושגים: בדיקת סימן, מונוטוניות
תשובות סופיות
התשובות הסופיות: א. תחום הגדרה: (-\infty, 2] \cup [4, \infty) ב. הנגזרת לא מתאפסת בנקודה בתחום הגדרה. היא לא קיימת בנקודות x = 2 ו x = 4. ג. הפונקציה יורדת בתחום (-∞, 2] ועולה בתחום [4, ∞)