חקירת פונקציות · נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה בפונקציית שורש
השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = \sqrt{-x^2 + 4x + 5} א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ב. מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע האם היא מקסימום או מינימום. ג. כתוב את תחומי העליה והירידה של הפונקציה.
הטיפ של עובד
כדי למצוא קיצון בפונקציית שורש, גזור את הביטוי שתחת השורש והשווה את הנגזרת לאפס. נקודת הקיצון של הביטוי הפנימי מתאימה לקיצון של הפונקציה.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: מציאת תחום ההגדרה
הביטוי תחת השורש חייב להיות גדול או שווה לאפס: -x^2 + 4x + 5 \geq 0 נמצא את שורשי המשוואה -x^2 + 4x + 5 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x - 5 = 0 \Rightarrow (x-5)(x+1) = 0 השורשים הם x = 5 ו x = -1. מכיוון שהמקדם של x^2 הוא שלילי, הפרבולה פתוחה כלפי מטה, ולכן הביטוי חיובי בין השורשים: \text{Domain:} [-1, 5]
מושגים: תחום הגדרה, אי שוויון ריבועי
שלב 2: מציאת הנגזרת ונקודות קיצון
נגזור את הפונקציה באמצעות כלל השרשרת: f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{-x^2 + 4x + 5}} \cdot (-2x + 4) = \frac{-2(x-2)}{2\sqrt{-x^2 + 4x + 5}} = \frac{-(x-2)}{\sqrt{-x^2 + 4x + 5}} נשווה את הנגזרת לאפס. המכנה לעולם אינו אפס בתחום ההגדרה, לכן: -(x-2) = 0 \Rightarrow x = 2
מושגים: כלל השרשרת, נגזרת
שלב 3: קביעת סוג הקיצון ותחומי עליה וירידה
נבדוק את סימן הנגזרת משני צדי נקודה זו: \text{כאשר } x < 2 \text{: } f'(x) > 0 \text{ (עליה)} \text{כאשר } x > 2 \text{: } f'(x) < 0 \text{ (ירידה)} לכן x = 2 היא נקודת מקסימום. הערך בנקודה זו: f(2) = \sqrt{-4 + 8 + 5} = \sqrt{9} = 3
מושגים: בדיקת סימן נגזרת, מקסימום ומינימום
תשובות סופיות
התשובות הסופיות: א. תחום הגדרה: [-1, 5] \text{ב. נקודת מקסימום: } (2, 3) ג. פונקציה עולה בתחום [-1, 2], פונקציה יורדת בתחום [2, 5]
