חזרה לקטלוג
#329חשבון דיפרנציאלי
מציאת משוואת משיק משותף לשתי פונקציותקראו את השאלה
שאלה
נתונות שתי פונקציות:
מצא את משוואת המשיק המשותף לשתי הפונקציות.
משיק משותףפולינומיםנגזרות
חשבון דיפרנציאלי · מציאת משוואת משיק משותף לשתי פונקציות
השאלה
נתונות שתי פונקציות: f(x) = x^2 + 2x + 1 g(x) = -x^2 + 6x - 5 מצא את משוואת המשיק המשותף לשתי הפונקציות.
הטיפ של עובד
משיק משותף פירושו ישר שמשיק לשתי הפונקציות בו זמנית. בנקודת ההשקה, ערך הנגזרת חייב להיות זהה, וגם הנקודה עצמה חייבת להיות על שני הגרפים.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: הגדרת משוואות ההשקה
תהי נקודת ההשקה לפונקציה f בנקודה x = a, ולפונקציה g בנקודה x = b. משוואת המשיק העובר דרך (a, f(a)) עם שיפוע f'(a) היא: y = f'(a)(x - a) + f(a) אותה ישר חוצה את הנקודה (b, g(b)) בשיפוע g'(b), לכן: y = g'(b)(x - b) + g(b)
מושגים: משוואת משיק, תנאי השקה
שלב 2: חישוב הנגזרות
f'(x) = 2x + 2 g'(x) = -2x + 6 כי המשיק משותף, שיפועיו חייבים להיות שווים: f'(a) = g'(b) \Rightarrow 2a + 2 = -2b + 6
מושגים: נגזרת, שיפוע משותף
שלב 3: כתיבת תנאי ההשקה
המשוואות חייבות להיות זהות, כלומר הם בעלי אותו שיפוע ואותה חותך ציר y. בהשוואת המקדמים: 2a + 2 = -2b + 6 a^2 + 2a + 1 - (2a + 2)a = -b^2 + 6b - 5 - (-2b + 6)b או בדרך פשוטה יותר: החותך של הישר המשיק נחשב משני הפונקציות באותה דרך.
מושגים: תנאי השקה, מערכת משוואות
שלב 4: פתרון המערכת
מהשוואת השיפועים: 2a + 2 = -2b + 6, כלומר a + b = 2 מהשוואת הנקודות על הישר: a^2 + 2a + 1 - (2a + 2)a = -b^2 + 6b - 5 + (2b - 6)b 1 - a^2 = -5 + 6b - 2b^2 בהצבת b = 2 - a ופתרון: a = 0, b = 2
מושגים: פתרון מערכת משוואות
שלב 5: מציאת משוואת המשיק
השיפוע הוא f'(0) = 2, והישר עובר דרך (0, 1): y = 2x + 1
מושגים: משוואת ישר
תשובה סופית
התשובה הסופית: y = 2x + 1