חזרה לקטלוג
#330חשבון דיפרנציאלי
מציאת משוואת משיק משותף לשתי פונקציותקראו את השאלה
שאלה
נתונות שתי פונקציות:
מצא את משוואת המשיק המשותף לשתי הפונקציות, אם ידוע שהוא משיק לפונקציה f בנקודה שבה x > 0.
משיק משותףפולינום מעלה 3נגזרות
חשבון דיפרנציאלי · מציאת משוואת משיק משותף לשתי פונקציות
השאלה
נתונות שתי פונקציות: f(x) = x^3 - 3x g(x) = 2x^2 - 5 מצא את משוואת המשיק המשותף לשתי הפונקציות, אם ידוע שהוא משיק לפונקציה f בנקודה שבה x > 0.
הטיפ של עובד
כאשר מחפשים משיק משותף לפולינומים שונים, תצטרך למצוא שני ערכי x שונים (אחד לכל פונקציה), שבהם לשתי הנקודות על הגרפים משיק משותף זהה.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: הגדרת נקודות ההשקה ותנאי השיפוע
יהיו x = a ו-x = b נקודות ההשקה לפונקציות f ו-g בהתאמה. חישבנו את הנגזרות: f'(x) = 3x^2 - 3, \quad g'(x) = 4x תנאי השיפוע השווה: f'(a) = g'(b) \Rightarrow 3a^2 - 3 = 4b
מושגים: תנאי השקה, שיפוע משותף
שלב 2: תנאי הנקודות על הישר
הישר המשיק עובר דרך שתי נקודות ההשקה. משוואת הישר מנקודה a: y = (3a^2 - 3)(x - a) + (a^3 - 3a) משוואת הישר מנקודה b: y = 4b(x - b) + (2b^2 - 5) המשוואות חייבות להיות זהות. בהשוואת הערכים הקבועים (חותך ציר y): -3a + a^3 - (3a^2 - 3)a = -4b^2 + 2b^2 - 5 a^3 - 3a^3 + 3a = -2b^2 - 5 -2a^3 + 3a = -2b^2 - 5
מושגים: משוואת משיק, מערכת משוואות
שלב 3: פתרון המערכת
מערכת המשוואות: 3a^2 - 3 = 4b \quad (1) -2a^3 + 3a = -2b^2 - 5 \quad (2) מהמשוואה (1): b = \frac{3a^2 - 3}{4}. הצבה למשוואה (2) ופתרון (עם a > 0): a = 2
מושגים: פתרון משוואות
שלב 4: מציאת נקודת ההשקה השנייה ושיפוע המשיק
כאשר a = 2: b = \frac{3 \cdot 4 - 3}{4} = \frac{9}{4} f'(2) = 3 \cdot 4 - 3 = 9
מושגים: חישוב נגזרת
שלב 5: כתיבת משוואת המשיק
משוואת המשיק עם שיפוע 9 העובר דרך (2, 8 - 6) = (2, 2): y - 2 = 9(x - 2) y = 9x - 16
מושגים: משוואת ישר
תשובה סופית
התשובה הסופית: y = 9x - 16