מתמטיקה · חשבון אינטגרלי ודיפרנציאלי

השאלה

נתונים: לפניכם סרטוט של גרף הפונקציה $ f(x) $. מגדירים פונקציה חדשה $ g(x) $ בתחום $ 0.3 \le x < 3 $ באמצעות האינטגרל הבא: \[ g(x) = \int_{0.3}^{x} f(t) \,dt \] לפניך שלושה ערכי $x$ אפשריים: $ x = 2 $ $ x = 1 $ $ x = \frac{1}{2} $ בעבור איזה מהם הערך של $ g(x) $ הוא הכי גדול? נמקו את תשובתכם.

הטיפ של עובד

יש הבדל עצום בין לחשב שטח לבין לחשב ערך של אינטגרל! שטח הוא תמיד חיובי. לעומת זאת, אינטגרל מסוים מחשב שטח מכוון – חלקים של הפונקציה שנמצאים מעל ציר ה-$x$ תורמים ערך חיובי, וחלקים שנמצאים מתחת לציר ה-$x$ מוסיפים ערך שלילי (שבעצם מקזז ומקטין את התוצאה הכוללת). כדי למקסם אינטגרל, אנחנו נרצה לאסוף את כל השטח החיובי שאפשר, ולעצור בדיוק לפני שאנחנו מתחילים לאסוף שטח שלילי!

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: שלב 1: הבנת משמעות האינטגרל ביחס לגרף

הפונקציה $ g(x) $ מוגדרת כסכום (אינטגרל) של הערכים של $ f(x) $ החל מ-$ x=0.3 $ ועד ל-$ x $. נביט על גרף הפונקציה: - בתחום שבין $ x=0.3 $ ל- $ x=1 $, הגרף נמצא מעל ציר ה-$x$. כלומר, הפונקציה חיובית, ולכן האינטגרל בתחום זה יוסיף ערך חיובי לתוצאה. - בתחום שבין $ x=1 $ ל- $ x=3 $, הגרף נמצא מתחת לציר ה-$x$. כלומר, הפונקציה שלילית, ולכן המשך חישוב האינטגרל לאזור זה יוסיף ערך שלילי ויקזז מהסכום שנצבר.

שלב 2: שלב 2: בדיקת האפשרויות הנתונות

אפשרות א': $ x = 0.5 $ האינטגרל יחושב מ-0.3 עד 0.5. נקבל ערך חיובי, שכן כל התחום הזה נמצא מעל ציר ה-$x$. עם זאת, לא אספנו את כל השטח החיובי האפשרי (הפונקציה ממשיכה להיות חיובית עד $ x=1 $). אפשרות ב': $ x = 1 $ האינטגרל יחושב מ-0.3 עד 1. בתחום זה הפונקציה חיובית בלבד. בבחירה זו בעצם אספנו את כל השטח החיובי שהפונקציה מציעה, ועצרנו בדיוק לפני שהיא יורדת מתחת לציר. זהו הערך המקסימלי ללא כל קיזוז. אפשרות ג': $ x = 2 $ האינטגרל יחושב מ-0.3 ועד 2. זה מורכב משני חלקים: שטח חיובי (מ-0.3 עד 1) פחות שטח שלילי שמתקזז (מ-1 עד 2). בגלל הקיזוז של השטח השלילי, התוצאה הסופית תהיה קטנה יותר מהתוצאה שקיבלנו עבור $ x=1 $.

שלב 3: שלב 3: מסקנה סופית (וגם קשר לנגזרת)

לאור מה שניתחנו, ברור שכדי לקבל את הערך הכי גדול של $ g(x) $, הגבול העליון ($x$) צריך להיות בדיוק הנקודה שבה הפונקציה מפסיקה להיות חיובית ומתחילה להיות שלילית. במקרה שלנו, נקודה זו היא $ x=1 $. דרך נוספת לחשוב על זה (למתקדמים): נגזרת הפונקציה $ g(x) $ היא הפונקציה הפנימית: $ g'(x) = f(x) $. כדי למצוא נקודת מקסימום של $ g(x) $, נשווה את הנגזרת לאפס: $ f(x) = 0 $. בגרף רואים שזה קורה ב-$ x=1 $. לפני $ x=1 $ הנגזרת (הפונקציה) חיובית (ולכן $ g $ עולה), ואחרי $ x=1 $ הנגזרת שלילית (ולכן $ g $ יורדת). לכן ב-$ x=1 $ יש לפונקציה המצטברת נקודת מקסימום!

מושגים: הקשר בין נגזרת לאינטגרל

תשובה סופית

התשובה הסופית: הערך של $ g(x) $ הוא הגדול ביותר עבור: $ x = 1 $

חזרה לקטלוג

#188מתמטיקה

חשבון אינטגרלי ודיפרנציאלי

קראו את השאלה

שאלה

נתונים: לפניכם סרטוט של גרף הפונקציה $f(x)$ .

מגדירים פונקציה חדשה $g(x)$ בתחום $0.3 \le x < 3$ באמצעות האינטגרל הבא: $g(x) = \int_{0.3}^{x} f(t) \,dt$ לפניך שלושה ערכי $x$ אפשריים: $x = 2$ $x = 1$ $x = \frac{1}{2}$ בעבור איזה מהם הערך של $g(x)$ הוא הכי גדול? נמקו את תשובתכם.

עוד שאלות בחשבון אינטגרלי ודיפרנציאלי