מתמטיקה · חשבון אינטגרלי ודיפרנציאלי

השאלה

נתונים: לפניכם סרטוט של גרף הפונקציה $ f(x) $. מגדירים פונקציה חדשה $ S(t) $ בתחום $ x_0 \le t \le x_1 $ באמצעות האינטגרל הבא: \[ S(t) = \int_{x_0}^{t} f(x) \,dx \] איזה מבין הגרפים הבאים (I, II, III, IV) הוא הגרף המתאר נכונה את הפונקציה $ S(t) $? נמקו את תשובתכם.

הטיפ של עובד

כשמבקשים מכם לזהות גרף של פונקציית הצטברות (שטח) כמו $ S(t) $, יש שתי דרכים חזקות לגשת לזה: 1. ההיגיון של השטח: האם השטח רק גדל? מתי הוא גדל מהר ומתי לאט? 2. קשר הנגזרת: זכרו את המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי: $ S'(t) = f(t) $. כלומר, ערכי ה-$y$ של הגרף המקורי הם בעצם השיפועים של גרף השטח!

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: שלב 1: הבנת המשמעות הגיאומטרית של $ S(t) $

הפונקציה $ S(t) = \int_{x_0}^{t} f(x) \,dx $ מתארת את גודל השטח המצטבר הכלוא תחת גרף הפונקציה $ f(x) $, מעל ציר ה-$x$, החל מנקודה $ x_0 $ ועד לנקודה $ t $. כיוון שבתחום בין $ x_0 $ ל- $ x_1 $ הפונקציה $ f(x) $ נמצאת כולה מעל ציר ה-$x$ (היא חיובית), הרי שככל שנתקדם ימינה עם $ t $, נוסיף עוד ועוד שטח. מסקנה: סך השטח רק הולך וגדל. לכן, הפונקציה $ S(t) $ חייבת להיות פונקציה עולה תמיד בתחום זה. ניתן לפסול מיד את גרף III, שכן הוא מתאר פונקציה שיורדת בסוף (מה שהיה אומר שהשטח קטן, וזה קורה רק אם $ f(x) $ יורדת מתחת לציר ה-$x$).

שלב 2: שלב 2: בחינת קצב התוספת של השטח

השטח אמנם גדל כל הזמן, אבל צריך לשאול: באיזה קצב הוא גדל? - בתחילת התחום (קרוב ל- $ x_0 $), הגובה של הפונקציה $ f(x) $ נמוך מאוד. לכן, התוספת לשטח היא קטנה והגידול מתון. - באמצע התחום, בפסגת הגבעה, הפונקציה $ f(x) $ מגיעה למקסימום. שם מצטבר שטח בקצב המהיר ביותר (התוספת הגדולה ביותר). - לקראת סוף התחום (קרוב ל- $ x_1 $), הפונקציה $ f(x) $ שוב יורדת לכיוון אפס. השטח עדיין גדל, אבל התוספת הולכת וקטנה, מה שיוצר גידול מתון (התמתנות). ניתן לפסול את גרף IV כי הוא מתאר קפיצה אקספוננציאלית (כאילו התוספת כל הזמן גדלה ללא התמתנות). ניתן לפסול את גרף II כי הוא מתאר התמתנות באמצע ואז שוב גידול מהיר (לא מתאים לצורת הגבעה האחת).

שלב 3: שלב 3: הסבר אלגברי מדויק (קשר פונקציה-נגזרת)

לפי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, הנגזרת של פונקציית השטח היא הפונקציה עצמה: \[ S'(t) = f(t) \] המשמעות היא שהגרף של $ f(x) $ מתאר בעצם את השיפוע של המשיק לגרף $ S(t) $: - בנקודה $ x_0 $: ידוע כי $ f(x_0)=0 $. לכן השיפוע של $ S(t) $ מתחיל מ-0 (אופקי לחלוטין). - בתחום מ- $ x_0 $ ועד נקודת המקסימום: ה-$y$ של הפונקציה הולך וגדל ולכן השיפוע של $ S(t) $ הולך ונהיה תלול יותר ויותר. - מנקודת המקסימום ועד ל- $ x_1 $: ה-$y$ של הפונקציה הולך וקטן חזרה לאפס ולכן השיפוע של $ S(t) $ הופך למתון יותר ויותר, עד שמתאפס (מתיישר) לחלוטין בנקודה $ x_1 $. גרף I הוא היחיד שמקיים את התכונות הללו במלואן: מתחיל בשיפוע אפס, מתקמר מעלה (שיפוע עולה), ולאחר מכן משנה מגמה ומתקער מטה (שיפוע קטן) עד להתמתנות ב- $ x_1 $. צורה זו מוכרת כצורת S או פונקציה לוגיסטית.

מושגים: הקשר בין נגזרת לאינטגרל

תשובות סופיות

התשובות הסופיות: הגרף הנכון שמתאר את פונקציית השטח $ S(t) $ הוא גרף I.

חזרה לקטלוג

#187מתמטיקה

חשבון אינטגרלי ודיפרנציאלי

קראו את השאלה

שאלה

נתונים: לפניכם סרטוט של גרף הפונקציה $f(x)$ .

מגדירים פונקציה חדשה $S(t)$ בתחום $x_0 \le t \le x_1$ באמצעות האינטגרל הבא: $S(t) = \int_{x_0}^{t} f(x) \,dx$ איזה מבין הגרפים הבאים (I, II, III, IV) הוא הגרף המתאר נכונה את הפונקציה $S(t)$ ? נמקו את תשובתכם.

עוד שאלות בחשבון אינטגרלי ודיפרנציאלי