חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי · חקירת פונקציית אינטגרל מצטבר
השאלה
לפניך גרפים של שתי פונקציות, \( f(t) \) (בצבע שחור) ו-\( g(t) \) (בצבע אדום), המוגדרות לכל \( t \). הפונקציות נחתכות בשתי נקודות ששיעורי ה-\( t \) שלהן הם \( t=a \) ו-\( t=b \), כאשר \( a < b \). נתונה הפונקציה \( S(x) \) המוגדרת על ידי האינטגרל: \[ S(x) = \int_{x}^{C} (f(t) - g(t)) dt \] (כאשר \( C \) הוא קבוע כלשהו גדול מ-\( b \)). א. מצא את שיעורי ה-\( x \) של נקודות הקיצון הפנימיות של הפונקציה \( S(x) \). ב. קבע את סוגן של נקודות הקיצון שמצאת בסעיף א'. נמק את תשובתך בעזרת הגרפים הנתונים.
הטיפ של עובד
שימו לב! כאשר המשתנה \( x \) מופיע בגבול התחתון של האינטגרל, כלל הגזירה הוא שונה. הנגזרת של \( \int_{x}^{a} h(t) dt \) היא \( -h(x) \). הסימן מינוס נובע מכך שהחלפת גבולות האינטגרציה (כדי להביא את ה-\( x \) למעלה) הופכת את סימן האינטגרל. לכן, הנגזרת של \( S(x) \) במקרה זה תהיה שווה למינוס של הפונקציה האינטגרנד (הביטוי שבתוך האינטגרל).
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א' - מציאת נקודות חשודות לקיצון
כדי למצוא את נקודות הקיצון של \( S(x) \), עלינו לגזור את הפונקציה ולהשוות את הנגזרת לאפס. נתונה הפונקציה: \( S(x) = \int_{x}^{C} (f(t) - g(t)) dt \). נשתמש בכלל הגזירה עבור אינטגרל שבו המשתנה נמצא בגבול התחתון: \[ S'(x) = -[f(x) - g(x)] = g(x) - f(x) \] נשווה את הנגזרת לאפס למציאת נקודות חשודות: \[ S'(x) = 0 \Rightarrow g(x) - f(x) = 0 \Rightarrow g(x) = f(x) \] כלומר, הנגזרת מתאפסת בנקודות החיתוך של הפונקציות \( f(x) \) ו-\( g(x) \). מהגרף הנתון, הפונקציות נחתכות כאשר \( t=a \) וכאשר \( t=b \). לכן, נקודות הקיצון החשודות הן \( x=a \) ו-\( x=b \).
מושגים: המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי
שלב 2: סעיף ב' - קביעת סוג הקיצון
נקבע את סוג נקודות הקיצון על ידי בדיקת סימן הנגזרת \( S'(x) = g(x) - f(x) \) בסביבת הנקודות. סימן הנגזרת נקבע לפי היחס בין הפונקציות \( g(x) \) ו-\( f(x) \). בדיקת הנקודה \( x=a \): • משמאל ל-\( a \) (\( x < a \)): מהגרף רואים כי הפונקציה האדומה \( g(t) \) נמצאת מעל הפונקציה הכחולה \( f(t) \). לכן, \( g(x) > f(x) \), והנגזרת \( S'(x) = g(x) - f(x) \) היא חיובית. הפונקציה \( S(x) \) עולה. • מימין ל-\( a \) (בין \( a \) ל-\( b \)): מהגרף רואים כי הפונקציה הכחולה \( f(t) \) נמצאת מעל הפונקציה האדומה \( g(t) \). לכן, \( f(x) > g(x) \), והנגזרת \( S'(x) = g(x) - f(x) \) היא שלילית. הפונקציה \( S(x) \) יורדת. מכיוון שהנגזרת עוברת מחיוביות לשליליות בנקודה \( x=a \), זוהי נקודת מקסימום. בדיקת הנקודה \( x=b \): • משמאל ל-\( b \) (בין \( a \) ל-\( b \)): כפי שראינו, בתחום זה \( f(x) > g(x) \), הנגזרת שלילית, והפונקציה \( S(x) \) יורדת. • מימין ל-\( b \) (\( x > b \)): מהגרף רואים כי הפונקציה האדומה \( g(t) \) חוזרת להיות מעל הפונקציה הכחולה \( f(t) \). לכן, \( g(x) > f(x) \), והנגזרת \( S'(x) = g(x) - f(x) \) היא חיובית. הפונקציה \( S(x) \) עולה. מכיוון שהנגזרת עוברת משליליות לחיוביות בנקודה \( x=b \), זוהי נקודת מינימום.
מושגים: חקירת פונקציה בעזרת נגזרת, ניתוח גרפי של הפרש פונקציות
תשובה סופית
התשובה הסופית: א. נקודות הקיצון הן ב-\( x=a \) וב-\( x=b \). ב. ב-\( x=a \) יש נקודת מקסימום, וב-\( x=b \) יש נקודת מינימום.
