חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי · חקירת פונקציית אינטגרל מצטבר
השאלה
בסרטוט נתון גרף של פונקציה \( f(x) \). \( g(x) \) היא פונקציה המקיימת \( g'(x) = f(x) \) בתחום \( x > 0 \). (1) מצאו את שיעורי ה-\( x \) של נקודות הקיצון של הפונקציה \( g(x) \) וקבעו את סוגן. (2) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה \( g(x) \). (3) ידוע שהפונקציה \( g(x) \) חותכת את ציר ה-\( x \) בנקודה ששיעור ה-\( x \) שלה בקירוב הוא \( x = 4.071 \) ונקודות הקיצון שלה נמצאות מתחת לציר ה-\( x \). סרטטו בצורה כללית את הגרף של \( g(x) \).
הטיפ של עובד
מפתח הזהב לשאלות מסוג זה הוא תרגום הנתון \( g'(x) = f(x) \). המשמעות היא פשוטה: הגרף המצויר מולכם הוא בעצם גרף הנגזרת של הפונקציה שאתם חוקרים!
כאשר הגרף שמוצג נמצא מעל ציר ה-x (\( f(x)>0 \)), הפונקציה \( g(x) \) עולה.
כאשר הגרף מתחת לציר ה-x (\( f(x)<0 \)), הפונקציה \( g(x) \) יורדת.
נקודות החיתוך עם ציר ה-x הן הנקודות החשודות כקיצון של \( g(x) \).
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיפים (1) ו-(2): נקודות קיצון ותחומי עלייה/ירידה של \( g(x) \)
נתון לנו כי בתחום \( x > 0 \), מתקיים הקשר \( g'(x) = f(x) \). משמעות הדבר היא שערכי ה-y של הגרף הנתון מייצגים בדיוק את הסימנים של נגזרת הפונקציה \( g(x) \). כדי למצוא את נקודות הקיצון של \( g(x) \), נחפש באילו שיעורי x מתאפסת הנגזרת, כלומר מתי \( g'(x) = 0 \). \[ g'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad f(x) = 0 \] מתוך התבוננות בגרף (בתחום החיובי \( x > 0 \)), הפונקציה \( f(x) \) חותכת את ציר ה-x בשתי נקודות: \[ x = \frac{2}{3} \quad , \quad x = 2 \] נבנה טבלת סימנים כדי לקבוע את סוג הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה של \( g(x) \), בהסתמך על חיוביות ושליליות של \( f(x) \): תחום \( 0 < x < \frac{2}{3} \): סימן הנגזרת \( g'(x) \) הוא \( + \) (הגרף מעל הציר), הפונקציה עולה. נקודה \( x = \frac{2}{3} \): הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן מפלוס למינוס, ולכן זוהי נקודת מקסימום. תחום \( \frac{2}{3} < x < 2 \): סימן הנגזרת \( g'(x) \) הוא \( - \) (הגרף מתחת לציר), הפונקציה יורדת. נקודה \( x = 2 \): הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן ממינוס לפלוס, ולכן זוהי נקודת מינימום. תחום \( x > 2 \): סימן הנגזרת \( g'(x) \) הוא \( + \) (הגרף מעל הציר), הפונקציה עולה.
מושגים: קשר גרפי בין פונקציה לנגזרת
שלב 2: סעיף (3): סרטוט כללי של גרף הפונקציה \( g(x) \)
נאסוף את כל הנתונים הידועים לנו על \( g(x) \) כדי לסרטט את הגרף: 1. תחום: הפונקציה מוגדרת ונחקרת עבור \( x > 0 \). בקרבת \( x=0 \), נגזרתה שואפת לאינסוף. 2. נקודות קיצון: יש נקודת מקסימום ב- \( x = \frac{2}{3} \) ונקודת מינימום ב- \( x = 2 \). 3. מיקום הקיצון: נתון ששתי נקודות הקיצון נמצאות מתחת לציר ה-x (כלומר ערכי ה-y שלהן שליליים). 4. חיתוך עם הצירים: נתון שהפונקציה חותכת את ציר ה-x פעם אחת בנקודה \( (4.071, 0) \). 5. התנהגות כללית: הפונקציה מתחילה מלמטה, עולה עד למקסימום המקומי (שנשאר שלילי), יורדת עד למינימום, ואז עולה בקצב הולך וגדל (הנגזרת שואפת ל-3, לכן השיפוע מתייצב על 3), וחותכת את ציר ה-x.
מושגים: שרטוט סקיצה ע"פ תכונות מצטברות
תשובה סופית
התשובה הסופית: (1) בנקודה שבה \( x = \frac{2}{3} \) יש מקסימום. בנקודה שבה \( x = 2 \) יש מינימום. (2) תחומי עלייה: \( 0 < x < \frac{2}{3} \) או \( x > 2 \). תחומי ירידה: \( \frac{2}{3} < x < 2 \). (3) ראו סרטוט בסוף הפתרון המודרך (פונקציה המתחילה מלמטה, עולה לנקודת מקסימום שלילית, יורדת לנקודת מינימום שלילית, ואז עולה וחותכת את ציר ה-x ב-4.071).
