גיאומטריה · מרובעים

שלב 1: הוכחת שוויון הקטעים (סעיף א')

במלבן, האלכסונים תמיד שווים זה לזה, לכן מתקיים: \( AC = BD \). כדי להוכיח ש- \( AC = DE \), מספיק אם נוכיח ש- \( BD = DE \). כלומר, עלינו להראות שהמשולש \( \Delta BDE \) הוא משולש שווה שוקיים. נתון לנו כי הישר \( BE \) חוצה את הזווית \( \angle CBD \), ולכן מתקיים שוויון הזוויות: \( \angle CBE = \angle DBE \). בנוסף, במלבן הצלעות הנגדיות מקבילות (\( AD \parallel BC \)). מכיוון ש-\( E \) נמצאת על המשך \( AD \), אזי כל הישר מקביל: \( AE \parallel BC \). הישר \( BE \) חותך את שני הישרים המקבילים הללו, ולכן הזוויות המתחלפות שוות זו לזו: \( \angle CBE = \angle DEB \). מכלל המעבר נובע כי \( \angle DBE = \angle DEB \). במשולש \( \Delta BDE \) מצאנו שתי זוויות בסיס שוות, ולכן הוא משולש שווה שוקיים, ומכאן שהצלעות שמולן שוות: \( BD = DE \). נציב \( AC = BD \) ונקבל את המבוקש: \( AC = DE \). (מ.ש.ל א')

מושגים: תכונות המלבן, משולש שווה שוקיים

שלב 2: מציאת כל הזוויות במלבן (סעיף ב')

כעת, נתון לנו כי האלכסון \( BD \) חוצה גם את הזווית \( \angle ABE \). כלומר: \( \angle ABD = \angle DBE \). בשלב הקודם כבר הראינו ש- \( \angle DBE = \angle CBE \). מכאן נובע ששלוש הזוויות שמרכיבות את פינת המלבן שוות כולן אחת לשנייה: \( \angle ABD = \angle DBE = \angle CBE \). הסכום של שלוש הזוויות הללו יחד הוא זווית \( B \) השלמה של המלבן, שהיא זווית ישרה (90 מעלות). לכן, כל אחת מהן שווה בדיוק ל-30 מעלות (\( \frac{90}{3} = 30 \)). מצאנו ש- \( \angle ABD = 30^\circ \) וכן שאר הזוויות הקטנות לידה.

שלב 3: הוכחת מאונכות הישרים (סעיף ב')

נתבונן במשולש ישר הזווית \( \Delta ABD \) (הזווית ב-\( A \) היא 90). מצאנו ש- \( \angle ABD = 30^\circ \). במלבן, אלכסונים שחוצים זה את זה יוצרים משולשים שווי שוקיים (לדוגמה משולש \( \Delta AOB \) שבו \( OA=OB \)). מסיבה זו, זווית \( \angle BAC \) תמיד שווה לזווית \( \angle ABD \). לכן, \( \angle BAC = 30^\circ \). כעת נסתכל על המשולש ישר הזווית הגדול \( \Delta ABC \). הזווית ב-\( B \) היא 90, ולכן הזווית השלישית במשולש תשלים ל-180: \[ \angle ACB = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \]. כדי לבדוק האם הישרים מאונכים, נסתכל על המשולש הקטן \( \Delta BCF \) שנוצר בנקודת החיתוך. אנו יודעים בו שתי זוויות: 1. זווית אחת היא \( \angle FBC \), שהיא בעצם הזווית \( \angle EBC \) שמצאנו (30 מעלות). 2. זווית שנייה היא \( \angle FCB \), שהיא בעצם הזווית \( \angle ACB \) שמצאנו הרגע (60 מעלות). נחשב את הזווית השלישית במשולש זה: \( \angle BFC = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ \). הזווית שנוצרה בנקודת המפגש היא זווית ישרה! המשמעות היא שהקטע \( BE \) מאונך לאלכסון \( AC \): \( BE \perp AC \). (מ.ש.ל ב')

שלב 4: חישוב אורך הקטע BE (סעיף ג')

בסעיף זה נתון לנו כי אורך הקטע \( BF = 2 \) ס"מ. מכיוון שהוכחנו הרגע שהישרים מאונכים (\( BE \perp AC \)), אז גם המשולש \( \Delta ABF \) (שבצידו השני של המפגש) הוא משולש ישר זווית שבו \( \angle AFB = 90^\circ \). הזווית \( \angle ABF \) בתוך משולש זה מורכבת מחיבור של שתי הזוויות שכבר מצאנו: \( \angle ABD + \angle DBF = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \). נשתמש בפונקציית הקוסינוס במשולש ישר-הזווית \( \Delta ABF \) כדי למצוא את היתר (הצלע \( AB \)): \[ \cos(60^\circ) = \frac{BF}{AB} \] \[ 0.5 = \frac{2}{AB} \implies AB = 4 \text{ ס"מ} \]. לסיום, נסתכל על המשולש ישר הזווית הענק, \( \Delta ABE \) (שבו פינת המלבן \( A \) היא 90 מעלות). הזווית החדה שלו למעלה היא הזווית \( \angle ABE = 60^\circ \), והניצב שלידה הוא הצלע \( AB \) שאורכה 4. הקטע המבוקש \( BE \) משמש במשולש הזה בתור היתר הגדול! נשתמש שוב בקוסינוס באותה דרך בדיוק: \[ \cos(60^\circ) = \frac{AB}{BE} \] \[ 0.5 = \frac{4}{BE} \implies BE = 8 \text{ ס"מ} \]. תשובה סופית: אורך הקטע המלא BE הוא 8 ס"מ.

מושגים: משולש 30-60-90 וטריגונומטריה