גיאומטריה · מרובעים

שלב 1: הוכחה שהמרובע EBCD הוא טרפז (סעיף א')

ראשית, נוכיח שיש למרובע זוג צלעות מקבילות. המרובע \( ABCD \) הוא מקבילית, ולכן הצלעות הנגדיות שלו מקבילות זו לזו. כלומר: \( AD \parallel BC \). הנקודה \( E \) מונחת על המשך הצלע \( AD \). לכן, גם הקטע \( ED \) (שמכיל את \( AD \)) מקביל לצלע \( BC \). קיבלנו שבמרובע \( EBCD \) יש זוג צלעות נגדיות מקבילות (\( ED \parallel BC \)). מרובע בעל זוג אחד של צלעות מקבילות הוא טרפז. כעת, כדי להוכיח שהטרפז שווה שוקיים, עלינו להראות ששוקי הטרפז (הצלעות הלא מקבילות) שוות זו לזו, כלומר שעלינו להוכיח כי \( EB = DC \).

שלב 2: בניית עזר ומשפט פיתגורס להוכחת שוויון שוקיים

נוריד גובה מקודקוד \( B \) אל הישר שעליו מונחת הצלע \( AD \) (כלומר, אל הישר \( ED \)). נקרא לנקודת החיתוך \( H \). לכן, \( BH \perp ED \). נתון לנו ש- \( AC \perp AD \). זה אומר שגם \( AC \) הוא גובה בין הישרים המקבילים \( AD \) ו-\( BC \). מכיוון שהמרחק בין ישרים מקבילים קבוע לכל אורכם, הגובה שיוצא מ-\( C \) (שהוא \( AC \)) שווה באורכו לגובה שיוצא מ-\( B \) (שהוא \( BH \)). כלומר: \( BH = AC \). נסתכל על המשולש ישר-הזווית \( \Delta ABH \) (הזווית ב-\( H \) היא \( 90^\circ \)). לפי משפט פיתגורס: \[ AH^2 = AB^2 - BH^2 \] נסתכל על המשולש ישר-הזווית \( \Delta DAC \) (הזווית ב-\( A \) נתונה כ-\( 90^\circ \)). לפי משפט פיתגורס: \[ AD^2 = DC^2 - AC^2 \] אבל במקבילית, הצלעות הנגדיות שוות: \( AB = DC \). כמו כן, הרגע הראינו ש- \( BH = AC \). נציב את הנתונים החדשים למשוואה הראשונה ונקבל: \[ AH^2 = DC^2 - AC^2 \] שימו לב! קיבלנו בדיוק את אותו ביטוי. לכן: \( AH^2 = AD^2 \), ומכאן נובע ש- \( AH = AD \).

מושגים: מרחק בין ישרים מקבילים

שלב 3: סיום סעיף א' - המשולש שווה השוקיים EAB

היכן בדיוק ממוקמת הנקודה \( H \)? כיוון ש-\( B \) נמצאת בהמשך המקבילית מעל \( A \) (המקבילית "דוחפת" ימינה, והזווית \( \angle A \) בפנים קהה), הגובה יפול על המשך הקרן \( DA \). כלומר, \( H \) נמצאת בדיוק על הקטע \( AE \). נתון לנו כי \( AE = 2AD \). מכיוון שגילינו ש- \( AH = AD \), יוצא שהנקודה \( H \) נמצאת בדיוק באמצע הקטע \( AE \)! (כך ש- \( AH = HE = AD \)). עכשיו נסתכל על המשולש הגדול \( \Delta EAB \). במשולש זה, הקטע \( BH \) הוא גם גובה (כי \( BH \perp AE \)) וגם תיכון (כי \( H \) אמצע \( AE \)). משולש שבו הגובה הוא גם תיכון חייב להיות משולש שווה שוקיים! לכן מתקיים: \( EB = AB \). מאחר שבמקבילית \( AB = DC \), אז על ידי כלל המעבר נקבל: \( EB = DC \). הוכחנו ששוקי הטרפז שוות, ולכן המרובע \( EBCD \) הוא טרפז שווה שוקיים. מ.ש.ל סעיף א'.

מושגים: משולש שווה שוקיים

שלב 4: בניית עזר לחפיפת משולשים (הכנה לסעיף ב')

נתון ש-\( F \) היא אמצע \( CD \) (כלומר \( CF = DF \)). מבקשים מאיתנו להוכיח קשר בין \( AF \) ל-\( BE \). נבצע בניית עזר קלאסית: נאריך את הישר \( AF \) עד שיחתוך את המשך הצלע \( BC \). לנקודת המפגש החדשה נקרא \( G \). (נוצר לנו צורת "שעון חול"). נסתכל על שני המשולשים שנוצרו: \( \Delta ADF \) ו- \( \Delta GCF \). 1. \( \angle AFD = \angle GFC \) (זוויות קודקודיות שוות). 2. \( DF = CF \) (נתון ש-\( F \) אמצע צלע). 3. \( \angle ADF = \angle GCF \) (זוויות מתחלפות שוות בין הישרים המקבילים \( AD \parallel BC \)). לכן, לפי משפט חפיפה ז.צ.ז, \( \Delta ADF \cong \Delta GCF \). מהחפיפה נובעים שני נתונים קריטיים שיעזרו לנו מיד: ראשית, הצלעות שוות: \( AD = CG \). שנית, הצלעות שוות: \( AF = FG \) (מה שאומר ש-\( F \) היא בדיוק אמצע הקטע הגדול \( AG \)!).

מושגים: בניית עזר - הארכת קטע

שלב 5: סיום סעיף ב' - המקבילית הסודית AGBE

נבדוק מהו האורך של כל הקטע \( BG \) החדש שנוצר לנו בבסיס התחתון. הקטע מורכב משני חלקים: \( BG = BC + CG \). במקבילית המקורית שלנו, צלעות נגדיות שוות, ולכן \( BC = AD \). מהחפיפה בשלב הקודם גילינו שגם \( CG = AD \). נציב את שניהם ונקבל: \( BG = AD + AD \implies BG = 2AD \). אבל רגע! הרי נתון לנו מתחילת השאלה ש- \( AE = 2AD \). כלומר, הוכחנו ש- \( AE = BG \). כמו כן, \( AE \) מונח על הישר \( AD \), ו-\( BG \) מונח על הישר \( BC \). ישרים אלו מקבילים, ולכן הקטעים מקבילים: \( AE \parallel BG \). נסתכל על המרובע הגדול \( AGBE \). מצאנו בו זוג צלעות נגדיות שהן גם שוות וגם מקבילות. מרובע כזה הוא בהכרח מקבילית! במקבילית (החדשה) \( AGBE \), הצלעות הנגדיות האחרות חייבות להיות שוות ומקבילות. לכן: \( AG \parallel BE \) וגם \( AG = BE \). נזכור שמהחפיפה גלינו ש-\( F \) היא אמצע האלכסון \( AG \), ולכן \( AF \) הוא חצי ממנו: \( AF = \frac{1}{2} AG \). נציב את \( BE \) במקום \( AG \), ונקבל את שביקשו מאיתנו: (1) \( AF = \frac{1}{2} BE \) (2) כיוון ש-\( AF \) הוא חלק מהישר \( AG \) המקביל ל-\( BE \), הרי ש- \( AF \parallel BE \). מ.ש.ל סעיף ב'.