בסרטוט נתון גרף הפונקציה \( f(x) \). נתון כי נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-\( x \) הן ב- \( x = -6, x = 0, x = 6 \). נקודות הקיצון הן \( (-1, 3) \) ו- \( (1, -3) \). מגדירים פונקציה חדשה: \( g(x) = x \cdot f(x) \). מצא את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה \( g(x) \).
איך ניגשים לשאלות של חיוביות ושליליות בפונקציית מכפלה כמו \( g(x) = x \cdot f(x) \)? הסוד הוא פשוט חוקי כפל של סימנים! כדי שהתוצאה תהיה חיובית: אנחנו צריכים ששני הגורמים יהיו בעלי אותו סימן. כלומר, או שגם ה-\( x \) חיובי וגם ה-\( f(x) \) חיובי (פלוס כפול פלוס), או שניהם שליליים (מינוס כפול מינוס). כדי שהתוצאה תהיה שלילית: אנחנו צריכים סימנים מנוגדים. ה-\( x \) חיובי וה-\( f(x) \) שלילי (פלוס כפול מינוס) או להפך. במקום לנסות לראות הכל בראש, עשו לכם טבלה קטנה. רשמו מה הסימן של \( x \), מה הסימן של \( f(x) \) (לפי הגרף - מתי הוא מעל הציר ומתי מתחת), והכפילו אותם. זה ימנע כל טעות!
כדי למצוא מתי פונקציית המכפלה \( g(x) = x \cdot f(x) \) חיובית או שלילית, עלינו לבדוק את הסימן של כל אחד מהגורמים (\( x \) ו-\( f(x) \)) בתחומים השונים שמגדירות נקודות החיתוך עם ציר ה-\( x \). הנקודות שבהן הסימנים יכולים להשתנות (ה"אפסים") הן: עבור הגורם \( x \): נקודת האפס היא \( x = 0 \). עבור הגורם \( f(x) \): נקודות האפס הן חיתוכי ציר ה-\( x \) הנתונים: \( x = -6, x = 0, x = 6 \). לכן, התחומים שעלינו לבדוק הם: \( x < -6 \), \( -6 < x < 0 \), \( 0 < x < 6 \), \( x > 6 \). נסדר את הבדיקה (בטבלה או ברשימה): עבור התחום \( x > 6 \): ה-\( x \) חיובי (+), והפונקציה \( f(x) \) מעל הציר לכן חיובית (+). המכפלה חיובית (+). עבור התחום \( 0 < x < 6 \): ה-\( x \) חיובי (+), אך הפונקציה \( f(x) \) מתחת לציר לכן שלילית (-). המכפלה שלילית (-). עבור התחום \( -6 < x < 0 \): ה-\( x \) שלילי (-), והפונקציה \( f(x) \) מתחת לציר לכן שלילית (-). המכפלה חיובית (+) (מינוס כפול מינוס). עבור התחום \( x < -6 \): ה-\( x \) שלילי (-), והפונקציה \( f(x) \) מעל הציר לכן חיובית (+). המכפלה שלילית (-).
מושגים: קריאת סימנים מגרף, שימוש בטבלת אזורים
תחומי חיוביות (\( g(x) > 0 \)): המקומות שבהם המכפלה היא (+). זה קורה כאשר שני הגורמים חיוביים, או כאשר שניהם שליליים. התחומים הם: \( x > 6 \) או \( -6 < x < 0 \) תחומי שליליות (\( g(x) < 0 \)): המקומות שבהם המכפלה היא (-). זה קורה כאשר הגורמים הם בעלי סימנים מנוגדים. התחומים הם: \( 0 < x < 6 \) או \( x < -6 \) הערה חשובה: שימו לב שלא כללנו את הנקודות עצמן (כמו למשל בין -6 ל-6 בלי לפצל ב-0), משום שבנקודות החיתוך (\( x = -6, 0, 6 \)) הפונקציה שווה לאפס, ואפס הוא לא חיובי ולא שלילי!
מושגים: חקירת פונקציית מכפלה
התשובה הסופית: תחומי חיוביות של \( g(x) \): \( x > 6 \) או \( -6 < x < 0 \). תחומי שליליות של \( g(x) \): \( 0 < x < 6 \) או \( x < -6 \).
בסרטוט נתון גרף הפונקציה f(x). נתון כי נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-x הן ב- x=−6,x=0,x=6. נקודות הקיצון הן (−1,3) ו- (1,−3). מגדירים פונקציה חדשה: g(x)=x⋅f(x). מצא את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה g(x).
