חדו"א · חקירת פונקציות

שלב 1: סעיף א-1: תחום הגדרה

בפונקציית מנה, עלינו לדרוש שהמכנה יהיה שונה מאפס: \( x^2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 0 \) תחום ההגדרה: \( x \neq 0 \).

מושגים: חקירת פונקציית מנה

שלב 2: סעיף א-2: אסימפטוטות מאונכות לצירים

אסימפטוטה אנכית: נבדוק מה קורה כאשר המכנה מתאפס, כלומר ב- \( x = 0 \). נציב \( x=0 \) במונה כדי לוודא שהוא לא מתאפס יחד עם המכנה: מונה ב- \( x=0 \): \( -(0)^2 - 2(0) + 8 = 8 \neq 0 \). מכיוון שהמונה לא מתאפס, זוהי אסימפטוטה אנכית ודאית. אסימפטוטה אופקית: נבדוק את גבול הפונקציה כאשר \( x \to \pm\infty \). נסתכל על החזקות הגבוהות ביותר במונה ובמכנה: \( \lim_{x \to \infty} \frac{-x^2 - 2x + 8}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x^2}{x^2} = -1 \) מכיוון שמעריכי החזקה הגבוהה במונה ובמכנה זהים, האסימפטוטה האופקית היא יחס המקדמים: \( y = -1 \). האסימפטוטות הן: \( x = 0 \) (אנכית) , \( y = -1 \) (אופקית).

מושגים: חקירת פונקציית מנה

שלב 3: סעיף א-3: נקודות חיתוך עם הצירים

חיתוך עם ציר y: מציבים \( x = 0 \), אך ראינו ש- \( x=0 \) נמצא מחוץ לתחום ההגדרה, ולכן אין נקודת חיתוך עם ציר ה-y. חיתוך עם ציר x: נציב \( y = 0 \) (נשווה את המונה לאפס): \( -x^2 - 2x + 8 = 0 \) נפתור בעזרת נוסחת השורשים ונקבל שני פתרונות: \( x_1 = -4 \) \( x_2 = 2 \) נקודות החיתוך עם ציר ה-x הן: \( (-4, 0) \) ו- \( (2, 0) \).

מושגים: חקירת פונקציית מנה

שלב 4: סעיף א-4: נקודות קיצון וקביעת סוגן

נגזור את הפונקציה לפי כלל נגזרת מנה: \( f'(x) = \frac{(-2x - 2) \cdot x^2 - (-x^2 - 2x + 8) \cdot 2x}{(x^2)^2} \) נפתח סוגריים במונה בזהירות רבה עם סימני המינוס ונפשט: \( f'(x) = \frac{2x^2 - 16x}{x^4} \) נשווה את הנגזרת לאפס (נשווה רק את המונה כי המכנה חיובי בתחום ההגדרה): \( 2x^2 - 16x = 0 \) \( 2x(x - 8) = 0 \) נקבל שני פתרונות לאיפוס הנגזרת: \( x = 0 \) (נפסל כי אינו בתחום ההגדרה). \( x = 8 \). נמצא את שיעור ה-y של הנקודה על ידי הצבה ב- \( f(x) \) המקורית: \( f(8) = \frac{-8^2 - 2(8) + 8}{8^2} = -1.125 \) טבלת תחומי עלייה וירידה (מציבים ערכים בנגזרת לבדיקת סימן): עבור x = -1, הנגזרת חיובית (עולה) עבור x = 0, אסימפטוטה (לא מוגדר) עבור x = 1, הנגזרת שלילית (יורדת) עבור x = 8, הנגזרת מתאפסת (נקודת קיצון) עבור x = 10, הנגזרת חיובית (עולה) נקודת הקיצון היחידה היא: \( (8, -1.125) \) נקודת מינימום.

מושגים: גזירת מנה ופישוט, חקירת פונקציית מנה

שלב 5: סעיף ב': סרטוט סקיצה

נסכם את המידע לטובת השרטוט: אסימפטוטה אנכית: \( x = 0 \). אסימפטוטה אופקית: \( y = -1 \). חיתוכים עם ציר ה-x: מצאנו ב- \( x = -4 \) וב- \( x = 2 \). נקודת קיצון: מינימום בנקודה \( (8, -1.125) \). הנקודה נמצאת מעט מתחת לאסימפטוטה האופקית.

שלב 6: סעיף ג' (סעיף חשיבה) - מציאת המשיק המקביל לציר ה-x

השאלה נראית מאיימת: נתונה פונקציה \( g(x) \) שמקיימת את הקשר \( g'(x) = f(x) \). שואלים אותנו באילו נקודות x יש ל- \( g(x) \) משיק המקביל לציר ה-x. בואו נפרק את זה לשלבים לוגיים פשוטים: 1. משיק המקביל לציר ה-x הוא ישר אופקי לחלוטין. 2. שיפוע של ישר אופקי הוא תמיד אפס. 3. השיפוע של המשיק לפונקציה \( g(x) \) בכל נקודה מחושב על ידי הנגזרת שלה \( g'(x) \). 4. לכן, הדרישה היא שהנגזרת תהיה שווה לאפס: \( g'(x) = 0 \). עכשיו, נשתמש בנתון שלנו: \( g'(x) = f(x) \). אם אנחנו מחפשים מתי הנגזרת מתאפסת, אנחנו בעצם מחפשים מתי \( f(x) = 0 \). במילים פשוטות: המקומות שבהם לפונקציה החדשה יש משיק אופקי, הם בדיוק נקודות החיתוך עם ציר ה-x של הפונקציה שחקרנו כרגע. את הנקודות הללו כבר מצאנו: \( x = -4 \) וב- \( x = 2 \). לכן, לפונקציה \( g(x) \) יש משיק המקביל לציר ה-x בנקודות שבהן: \( x = 2 \) ו- \( x = -4 \).

מושגים: קשר בין משיק, שיפוע ונגזרת