לפניכם סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. לפונקציה יש שתי נקודות פיתול בלבד, והן נמצאות ב- $x = -a$ וב- $x = a$. סקיצת הפונקציה המקורית $f(x)$ היעזרו בגרף והביעו באמצעות $a$: א. את התחום שבו $f''(x)$ חיובית. ב. את התחום שבו $f''(x)$ שלילית.
מה שואלים אותנו בעצם? הסימן של הנגזרת השנייה ($f''(x)$) הוא השפה המתמטית לתאר את צורת הקעירות של הפונקציה! כאשר $f''(x) > 0$ (חיובית), הפונקציה קעורה כלפי מעלה (כמו קערה רגילה שמחזיקה מים, צוחקת ∪). כאשר $f''(x) < 0$ (שלילית), הפונקציה קעורה כלפי מטה (כמו קערה הפוכה, בוכה ∩). איך מזהים את זה בגרף עם אסימפטוטות? תחשבו על פונקציה שיורדת אל ציר ה-$x$ (אסימפטוטה). אם היא הייתה ממשיכה בצורה של קערה הפוכה (∩), היא הייתה מתנגשת בציר וחותכת אותו! כדי להיצמד לאסימפטוטה מלמעלה ולא לחתוך אותה, הפונקציה חייבת להשתטח ולקבל צורה של קערה רגילה (∪) - כלומר להיות קעורה כלפי מעלה בחלקים החיצוניים שלה (הזנבות).
נקודת פיתול היא הנקודה שבה הפונקציה משנה את הקעירות שלה מקעירות כלפי מעלה (∪) לקעירות כלפי מטה (∩) או להפך. על פי הנתונים, ישנן רק שתי נקודות כאלה ב- $x = -a$ וב- $x = a$. זה מחלק את הגרף לשלושה אזורים בדיוק: זנב שמאלי, אמצע (הפסגה), וזנב ימני. (העובדה שאין עוד נקודות פיתול מבטיחה לנו שהקעירות נשארת קבועה בתוך כל אחד מהאזורים הללו).
מושגים: נקודות פיתול
נביט באזור המרכזי של הפונקציה, סביב ציר ה-$y$ ונקודת המקסימום. הגרף עולה, מגיע לפסגה, ואז יורד. צורה זו של הר היא ההגדרה הגיאומטרית של קעירות כלפי מטה (∩). האזור הזה כלוא בין שתי נקודות הפיתול, כלומר בתחום $-a < x < a$. מסקנה: בתחום $-a < x < a$ הפונקציה קעורה כלפי מטה, ולכן מתקיים בהכרח: $f''(x) < 0$.
מושגים: קעירות כלפי מטה
כעת נביט בקצוות: מעבר ל-$x=a$ ומעבר ל-$x=-a$. אנו רואים שהפונקציה יורדת ומתקרבת לציר ה-$x$ כאסימפטוטה אופקית ($y=0$). כדי שהגרף לא יחתוך את ציר ה-$x$, הוא חייב להתמתן ולהשתטח. צורת השתטחות זו יוצרת חצי קערה ימנית וחצי קערה שמאלית. זוהי התנהגות של קעירות כלפי מעלה (∪). חלוקת הפונקציה לתחומי קעירות וקמירות סביב נקודות הפיתול מסקנה: בתחומים $x < -a$ ו- $x > a$, הפונקציה קעורה כלפי מעלה ולכן מתקיים בהכרח: $f''(x) > 0$.
מושגים: קעירות כלפי מעלה, אסימפטוטות אופקיות
התשובה הסופית: א. התחומים בהם $f''(x)$ חיובית: $x < -a$ או $x > a$ ב. התחום בו $f''(x)$ שלילית: $-a < x < a$
לפניכם סקיצה של גרף הפונקציה f(x). לפונקציה יש שתי נקודות פיתול בלבד, והן נמצאות ב- x=−a וב- x=a.
סקיצת הפונקציה המקורית f(x) היעזרו בגרף והביעו באמצעות a: א. את התחום שבו f′′(x) חיובית. ב. את התחום שבו f′′(x) שלילית.
