לפניכם סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$, המוגדרת בתחום $x \ge 0$ ו- $x \neq 2$. מתוך חקירת הפונקציה, ידוע כי בנקודה שבה $x = 8$ יש לפונקציה נקודת מינימום בשיעורים $(8, 4)$, ויש לה אסימפטוטה אנכית ב- $x = 2$. מגדירים פונקציה חדשה $g(x)$ כך שפונקציית הנגזרת שלה, $g'(x)$, מקיימת: $$g'(x) = f(x) \cdot f'(x)$$ מצאו את תחום הירידה של הפונקציה $g(x)$. (נמקו את תשובתכם בפירוט)
כשמבקשים מכם למצוא תחום ירידה של פונקציה, התרגום המיידי צריך להיות: מתי הנגזרת שלה שלילית? כלומר, אנו מחפשים מתי $g'(x) < 0$. כיוון ש-$g'(x)$ היא מכפלה של שני איברים ($f(x)$ ו- $f'(x)$), היא תהיה שלילית רק כאשר הסימנים שלהם הפוכים (אחד חיובי והשני שלילי). איך קוראים את הסימנים מהגרף בלי שום תבנית פונקציה? • הסימן של $f(x)$ נקבע לפי המיקום: מעל ציר ה-$x$ (חיובי) או מתחתיו (שלילי). • הסימן של $f'(x)$ נקבע לפי מגמת הפונקציה: פונקציה עולה = נגזרת חיובית, פונקציה יורדת = נגזרת שלילית.
כדי למצוא את תחום הירידה של $g(x)$, עלינו למצוא באילו תחומי $x$ הנגזרת שלה שלילית: $$g'(x) < 0$$ נציב את הנתון $g'(x) = f(x) \cdot f'(x)$, ולכן אנו דורשים: $$f(x) \cdot f'(x) < 0$$ מכפלה של שני גורמים תהיה שלילית (קטנה מאפס) אך ורק אם לגורמים יש סימנים מנוגדים. כלומר, אחד משני המצבים הבאים חייב להתקיים: - $f(x) > 0$ (חיובי) וגם $f'(x) < 0$ (שלילי). - $f(x) < 0$ (שלילי) וגם $f'(x) > 0$ (חיובי).
מושגים: תנאי לירידה של פונקציה, ניתוח סימני מכפלה
נחלק את ציר ה-$x$ לתחומים רלוונטיים לפי נקודות ציון בגרף: אסימפטוטה ב-$x=2$, ונקודת מינימום ב-$x=8$. תחום ראשון: $0 < x < 2$ - גרף $f(x)$ נמצא מתחת לציר ה-$x$ לכן $f(x)$ שלילית. - הגרף במגמת ירידה לכן הנגזרת $f'(x)$ שלילית. - מכפלת הסימנים: שלילי כפול שלילי שווה חיובי. הנגזרת $g'(x)$ חיובית, ולכן $g(x)$ עולה בתחום זה. תחום שני: $2 < x < 8$ - גרף $f(x)$ נמצא מעל ציר ה-$x$ (ערכי ה-y חיוביים כי המינימום בגובה 4) לכן $f(x)$ חיובית. - הגרף יורד אל עבר נקודת המינימום לכן הנגזרת $f'(x)$ שלילית. - מכפלת הסימנים: חיובי כפול שלילי שווה שלילי. הנגזרת $g'(x)$ שלילית, ולכן $g(x)$ יורדת בתחום זה! תחום שלישי: $x > 8$ - גרף $f(x)$ נמצא מעל ציר ה-$x$ לכן $f(x)$ חיובית. - הגרף במגמת עלייה מנקודת המינימום לכן הנגזרת $f'(x)$ חיובית. - מכפלת הסימנים: חיובי כפול חיובי שווה חיובי. הנגזרת $g'(x)$ חיובית, ולכן $g(x)$ עולה בתחום זה.
מושגים: קריאת סימנים מגרף, תחומי חיוביות ושליליות
מתוך הניתוח שעשינו, התחום היחיד שבו המכפלה $f(x) \cdot f'(x)$ יצאה שלילית הוא התחום האמצעי. בתחום זה הפונקציה המקורית נמצאת בגובה (חיובית), אך היא צוללת למטה (נגזרת שלילית). מכאן, תחום הירידה של הפונקציה $g(x)$ הוא: $$2 < x < 8$$
מושגים: הסקת מסקנות מחקירת פונקציה
התשובה הסופית: הפונקציה $g(x)$ יורדת בתחום: $$2 < x < 8$$
לפניכם סקיצה של גרף הפונקציה f(x), המוגדרת בתחום x≥0 ו- x=2. מתוך חקירת הפונקציה, ידוע כי בנקודה שבה x=8 יש לפונקציה נקודת מינימום בשיעורים (8,4), ויש לה אסימפטוטה אנכית ב- x=2.
מגדירים פונקציה חדשה g(x) כך שפונקציית הנגזרת שלה, g′(x), מקיימת: g′(x)=f(x)⋅f′(x) מצאו את תחום הירידה של הפונקציה g(x). (נמקו את תשובתכם בפירוט)
