בסרטוט שלפניכם נתון הגרף של הפונקציה \( f(x) \). ידוע כי נקודות הקיצון של הפונקציה הן בנקודות: \( (-2, 5) \) ו-\( (2, -5) \). נקודות החיתוך עם ציר ה-\( x \) הן ב-\( x = -3 \), בראשית הצירים, וב-\( x = 3 \). א. מצאו את התחומים שבהם הפונקציה \( f(x) \) חיובית וגם הנגזרת שלה \( f'(x) \) חיובית. ב. מצאו את התחומים שבהם מתקיים אי-השוויון: \( f(x) \cdot f'(x) < 0 \).
שואלים אותנו מתי \( f(x) \cdot f'(x) < 0 \). בואו נבין את ההיגיון בעזרת פרבולה פשוטה: חיוביות הפונקציה \( f(x) \): נקבעת נטו לפי מיקומה ביחס לציר ה-x (מעל = חיובית, מתחת = שלילית). חיוביות הנגזרת \( f'(x) \): נקבעת לפי מגמת הפונקציה (עולה = נגזרת חיובית, יורדת = נגזרת שלילית). כדי שמכפלה תהיה קטנה מאפס (שלילית), נדרש ששני הגורמים יהיו בעלי סימנים מנוגדים! כלומר, אנו מחפשים את התחומים שבהם הפונקציה חיובית אך יורדת, או לחלופין שלילית אך עולה. <br/><br/> <svg viewBox="0 0 200 150" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width: 150px;"><line x1="20" y1="120" x2="180" y2="120" stroke="#999" stroke-width="1.5"/><line x1="100" y1="140" x2="100" y2="20" stroke="#999" stroke-width="1.5"/><path d="M 40 40 Q 100 200, 160 40" fill="none" stroke="#e74c3c" stroke-width="2"/><text x="30" y="30" fill="#e74c3c" font-size="12" direction="ltr">f(x)</text></svg>
כדי לענות על שאלות מסוג זה בצורה בטוחה וללא בלבול, ננתח את מצב הפונקציה ואת מצב נגזרתה בכל אחד מהתחומים שמגדירות נקודות החיתוך ונקודות הקיצון. התחומים נקבעים על ידי ה-x-ים החשובים: מאפסי \( f(x) \): \( x = -3, 0, 3 \) (חיתוך עם הצירים) מאפסי \( f'(x) \): \( x = -2, 2 \) (נקודות הקיצון) נרכז את הניתוח הגרפי: עבור \( x < -3 \): מיקום: מתחת לציר (-) | מגמה: עולה ↗ ולכן \( f'(x) \) חיובית (+) מכפלה \( f(x) \cdot f'(x) \): שלילית (-) עבור \( -3 < x < -2 \): מיקום: מעל הציר (+) | מגמה: עולה ↗ ולכן \( f'(x) \) חיובית (+) מכפלה \( f(x) \cdot f'(x) \): חיובית (+) עבור \( -2 < x < 0 \): מיקום: מעל הציר (+) | מגמה: יורדת ↘ ולכן \( f'(x) \) שלילית (-) מכפלה \( f(x) \cdot f'(x) \): שלילית (-) עבור \( 0 < x < 2 \): מיקום: מתחת לציר (-) | מגמה: יורדת ↘ ולכן \( f'(x) \) שלילית (-) מכפלה \( f(x) \cdot f'(x) \): חיובית (+) עבור \( 2 < x < 3 \): מיקום: מתחת לציר (-) | מגמה: עולה ↗ ולכן \( f'(x) \) חיובית (+) מכפלה \( f(x) \cdot f'(x) \): שלילית (-) עבור \( x > 3 \): מיקום: מעל הציר (+) | מגמה: עולה ↗ ולכן \( f'(x) \) חיובית (+) מכפלה \( f(x) \cdot f'(x) \): חיובית (+)
מושגים: ארגון מידע אנליטי בטבלה
אנו מחפשים את התחומים שבהם גם סימן ה-\( f(x) \) הוא (+) וגם סימן ה-\( f'(x) \) הוא (+). מתוך הניתוח שעשינו, תנאי זה מתקיים בשני תחומים: \( -3 < x < -2 \) או \( x > 3 \)
מושגים: קשר גרפי בין פונקציה לנגזרתה
אי-השוויון \( f(x) \cdot f'(x) < 0 \) מתקיים כאשר למוכפלים יש סימנים מנוגדים. נחפש את כל התחומים שבהם תוצאת המכפלה היא שלילית (-). נראה שזה מתקיים ב-3 תחומים נפרדים: \( x < -3 \) או \( -2 < x < 0 \) או \( 2 < x < 3 \)
מושגים: פתרון אי-שוויונות המערבים מכפלה
התשובה הסופית: א. \( -3 < x < -2 \) או \( x > 3 \) ב. \( x < -3 \) או \( -2 < x < 0 \) או \( 2 < x < 3 \)
בסרטוט שלפניכם נתון הגרף של הפונקציה f(x). ידוע כי נקודות הקיצון של הפונקציה הן בנקודות: (−2,5) ו-(2,−5). נקודות החיתוך עם ציר ה-x הן ב-x=−3, בראשית הצירים, וב-x=3. א. מצאו את התחומים שבהם הפונקציה f(x) חיובית וגם הנגזרת שלה f′(x) חיובית. ב. מצאו את התחומים שבהם מתקיים אי-השוויון: f(x)⋅f′(x)<0.
