בסרטוט שלפניכם נתון הגרף של הפונקציה \( f(x) \). ידוע כי נקודות הקיצון של הפונקציה הן בנקודות: \( (-2, 5) \) ו-\( (2, -5) \). נקודות החיתוך עם ציר ה-\( x \) הן ב-\( x = -3 \), בראשית הצירים, וב-\( x = 3 \). שאלה: כמה פתרונות יש למשוואה \( f(x) \cdot f'(x) = 0 \)? מצאו את כל הפתרונות הללו.
הטיפ של עובד
שואלים אותנו כמה פתרונות יש למשוואה \( f(x) \cdot f'(x) = 0 \). במקום לחשב ולהסתבך, פשוט זכרו את "חוק האפס": כאשר מכפלה שווה לאפס, לפחות אחד מהגורמים חייב להתאפס!
לכן, עלינו לבדוק שני מצבים מתוך הגרף:
1. או ש- \( f(x) = 0 \) (אלו הן נקודות החיתוך עם ציר ה-x).
2. או ש- \( f'(x) = 0 \) (אלו הן נקודות הקיצון של הפונקציה).
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: פתרון משוואת המכפלה
כאשר מכפלה של שני גורמים שווה לאפס, לפחות אחד מהגורמים חייב להיות שווה לאפס. לכן, נבדוק כל גורם בנפרד מתוך הגרף הנתון: אפשרות 1: הגורם הראשון מתאפס, כלומר \( f(x) = 0 \) הפונקציה מתאפסת בנקודות החיתוך שלה עם ציר ה-x. מתוך הגרף, ניתן לראות בבירור שזה קורה ב-3 נקודות: \( x = -3 \), \( x = 0 \), \( x = 3 \). אפשרות 2: הגורם השני מתאפס, כלומר \( f'(x) = 0 \) הנגזרת מתאפסת בנקודות הקיצון של הפונקציה (מינימום ומקסימום מקומיים). מתוך הגרף, יש לנו 2 נקודות קיצון: \( x = -2 \) (מקסימום), \( x = 2 \) (מינימום). בסך הכל, קיבלנו 3 פתרונות מהפונקציה ועוד 2 פתרונות מהנגזרת. לכן למשוואה יש 5 פתרונות בסך הכל. הפתרונות הם: \( x = -3, -2, 0, 2, 3 \).
מושגים: פתרון משוואת מכפלה מתוך גרף, משמעות גרפית של התאפסות הנגזרת
בסרטוט שלפניכם נתון הגרף של הפונקציה f(x).
ידוע כי נקודות הקיצון של הפונקציה הן בנקודות: (−2,5) ו-(2,−5).
נקודות החיתוך עם ציר ה-x הן ב-x=−3, בראשית הצירים, וב-x=3.
שאלה: כמה פתרונות יש למשוואה f(x)⋅f′(x)=0? מצאו את כל הפתרונות הללו.
פתרון משוואת מכפלה מתוך גרףמשמעות גרפית של התאפסות הנגזרת
